Was ist die NULL-Hypothese für die Interaktion in einer Zwei-Wege-ANOVA?

Angenommen, wir haben zwei Faktoren (A und B) mit jeweils zwei Ebenen (A1, A2 und B1, B2) und einer Antwortvariablen (y).

Die bei der Durchführung einer Zwei-Wege-ANOVA des Typs:

y~A+B+A*B

Wir testen drei Nullhypothesen:

1. Es gibt keinen Unterschied im Mittelwert von Faktor A
2. Bei Faktor B gibt es keinen Unterschied
3. Es gibt keine Wechselwirkung zwischen den Faktoren A und B

Die ersten beiden Hypothesen lassen sich leicht formulieren (für 1 ist es ).$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

Aber wie ist Hypothese 3 zu formulieren?

edit : und wie wäre es für den fall von mehr als zwei ebenen formuliert?

Vielen Dank.

Ich halte es für wichtig, die Hypothese und den entsprechenden Test klar voneinander zu trennen. Für die folgende gehe ich davon aus, eine ausgewogenen, Zwischensubjekt CRF- Design (gleiche Zellgrößen, Kirks Notation: Vollständig Randomized Factorial Design).$pq$

ist die Beobachtung i in der Behandlung j des Faktors A und der Behandlung k des Faktors B mit 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p und 1 ≤ k ≤ q . Das Modell ist Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Design: B 1 ... B k ... B q A 1 μ 11 ... μ 1 k ... μ 1 q μ 1 ... ... ... ... ... ... ... A j μ j 1 ... μ j k ... μ j q μ j . ... ... ... ... ... ... ... A p μ p 1 ... μ$\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

ist der erwartete Wert in der Zelle j k , ϵ i ( j k ) ist der Fehler, der mit der Messung der Person i in dieser Zelle verbunden ist. Die ( ) -Notation gibt an, dass die Indizes j k für eine gegebene Person i festgelegt sind, da diese Person nur in einer Bedingung beobachtet wird. Einige Definitionen für die Effekte:$\mu_{jk}$$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

(durchschnittlicher erwarteter Wert für die Behandlungjdes FaktorsA)$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$$j$$A$

(durchschnittlicher erwarteter Wert für die Behandlungkdes FaktorsB)$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$$k$$B$

(Wirkung der Behandlung j des Faktors A , ∑ p j = 1 α j = 0 )$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(Wirkung der Behandlung k des Faktors B , ∑ q k = 1 β k = 0 )$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(Wechselwirkungseffekt für die Kombination der Behandlung j des Faktors A mit der Behandlung k des Faktors B , ∑ p j = 1 ( α β ) j k$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

(bedingte Hauptwirkung für die Behandlung j des Faktors A innerhalb der festen Behandlung k des Faktors B , ∑ p j = 1 α ( k ) j = $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$: In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$-axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$