Kovarianzmatrix für die Gaußsche Prozess- und Wishart-Verteilung

Ich lese dieses Papier über generalisierte Wishart-Prozesse (GWP) durch. Die Arbeit berechnet die Kovarianzen zwischen verschiedenen Zufallsvariablen (nach dem Gaußschen Prozess ) unter Verwendung der quadratischen exponentiellen Kovarianzfunktion, dh . Es heißt dann, dass diese Kovarianzmatrix GWP folgt. $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Früher dachte ich, dass eine Kovarianzmatrix, die aus der linearen Kovarianzfunktion ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ berechnet wurde , der Wishart-Verteilung mit geeigneten Parametern folgt.

Meine Frage ist, wie können wir immer noch annehmen, dass die Kovarianz einer Wishart-Verteilung mit quadratischer exponentieller Kovarianzfunktion folgt? Was ist im Allgemeinen die notwendige Bedingung für eine Kovarianzfunktion, um eine verteilte Wishart-Kovarianzmatrix zu erzeugen?

— Steadyfish
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Was verwechselt wird, ist die Kovarianzspezifikation in Bezug auf den Umgebungsraum, auf dem der Gaußsche Prozess definiert ist, und die Operation, die eine endlich dimensionale Gaußsche Zufallsvariable transformiert, um eine Wishart-Verteilung zu erhalten.

Wenn eine dimensionale Gaußsche Zufallsvariable (ein Spaltenvektor) mit dem Mittelwert 0 und der Kovarianzmatrix , ist die Verteilung von eine Wishart-Verteilung . Es ist zu beachten, dass eine Matrix ist. Dies ist ein allgemeines Ergebnis darüber, wie die quadratische Form $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T.}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$ wandelt eine Gaußsche Verteilung in eine Wishart-Verteilung um. Es gilt für jede Wahl einer positiven definitiven Kovarianzmatrix

. Wenn Sie iid Beobachtungen

dann ist mit

die Verteilung von

eine Wishart

-Verteilung. Teilen durch

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

{W.}_{1} + \dots + {W.}_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$ wir dividieren, erhalten wir die empirische Kovarianzmatrix

eine Schätzung von

-

$-$

Σ

$\Sigma$ .

Für Gaußsche Prozesse gibt es einen Umgebungsraum, beispielsweise zur Veranschaulichung, dass es sich um , sodass die betrachteten Zufallsvariablen durch Elemente im Umgebungsraum indiziert werden. Das heißt, betrachten wir einen Prozess . Es ist Gaußsch (und der Einfachheit halber hier mit dem Mittelwert 0), wenn seine endlichen dimensionalen Randverteilungen Gaußsch sind, dh wenn $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ für alle . Die Wahl derKovarianzfunktion, wie vom OP erwähnt, bestimmt die Kovarianzmatrix,

X. (x_{1}, \dots, x_{p}) : = (X. (x_{1}), \dots, X. (x_{p}))^{T.} \sim N. (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

Ohne Berücksichtigung der Wahl von

die Verteilung von

ein Wishart

cov (X. (x_{ich}), X. (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{ich, j} = K. (x_{ich}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$

K

$K$

X. (x_{1}, \dots, x_{p}) X. (x_{1}, \dots, x_{p})^{T.}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

-Verteilung.

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
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Vielen Dank für die Beantwortung. Ich habe ein paar Fragen, reg. Ihre Antwort - Wenn Sie sagen, dass die Transformation, die Gaußsche dist in Wishart dist transformiert, für jede Wahl einer + ve bestimmten Cov-Matrix gilt, welche unterschiedlichen Möglichkeiten haben wir für diese Cov-Matrix? Um die durch die cov-Funktion definierte cov-Matrix zu verdeutlichen, geben i und j Elemente im Umgebungsraum des Gaußschen Prozesses an (wenn es sich beispielsweise um einen zeitlichen Prozess handelt, werden die Zeitpunkte t_1 und t_2).

— Steadyfish

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

x^{T} x

$x^{T}x$

@steadyfish, oh, ich verstehe. Tatsächlich war ich schlampig mit den Transpositionen und ob die Vektoren Zeilen- oder Spaltenvektoren waren. Ich habe das jetzt präzisiert und ein wenig über die Beziehung zwischen der empirischen Kovarianzmatrix und der theoretischen Kovarianzmatrix hinzugefügt. Die Theorie ist nicht in Bezug auf die Beobachtungen definiert.

— NRH