Varianz der Potenzen einer Zufallsvariablen

Ist es möglich, eine Formel für die Varianz der Potenzen einer Zufallsvariablen in Bezug auf den erwarteten Wert und die Varianz von X abzuleiten? und

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value

— Damla
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Haben Sie eine bestimmte Verteilung im Sinn? Um eine Lösung zu erhalten, benötigen Sie eine solche Einschränkung. Wenn eine allgemeine Formel existieren würde, gäbe es bemerkenswert wenige Verteilungen: Diese Formel würde alle höheren Momente bestimmen, und so könnten alle Verteilungen durch die Erwartung und Varianz parametrisiert werden, was eindeutig nicht der Fall ist.

— whuber

Ich habe keine Einschränkungen. Die unabhängige und allgemeinere Version dieses Problems wird unter folgendem Link gelöst: stats.stackexchange.com/questions/52646/… Ich frage mich also, ob wir auch für dieses eine allgemeine Gleichung ableiten können. Mit anderen Worten, ich versuche wobei

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

— damla

Ja, ihr Unterschied ist die Varianz, und die Varianz als Summe der Quadrate kann nicht negativ sein.

— whuber

Stéphane Laurent Ich sehe nicht, wo eine solche Behauptung aufgestellt wird, aber um ganz klar zu sein, ich habe so etwas nicht behauptet.

— whuber

@ Bastiaan ; für Normalverteilungen finden Sie hier .

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

— Dougal

Wenn Sie die Momenterzeugungsfunktion für die Verteilung X haben, können Sie den erwarteten Wert von mit berechnen und bei auswerten . $X^n$ $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

— Nick Lim
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Können Sie weiter erklären, wie dies helfen kann, ?

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

— Silverfish

Der Kommentar von @Silverfish Dougal zur Hauptfrage, der nur drei Minuten vor Ihrem obigen Kommentar veröffentlicht wurde, beantwortet Ihre Frage vollständig.

— Dilip Sarwate