Erklärung des endlichen Korrekturfaktors

Ich verstehe, dass bei Stichproben aus einer endlichen Grundgesamtheit und einer Stichprobengröße von mehr als 5% der Grundgesamtheit eine Korrektur des Mittelwerts und des Standardfehlers der Stichprobe nach folgender Formel erforderlich ist:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Wobei die Populationsgröße und die Stichprobengröße ist. $N$ $n$

Ich habe 3 Fragen zu dieser Formel:

Warum ist die Schwelle auf 5% festgelegt?
Wie wurde die Formel abgeleitet?
Gibt es neben diesem Artikel noch andere Online-Ressourcen, die diese Formel umfassend erläutern ?

sampling finite-population

— Sara
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Du korrigierst den Mittelwert nicht!

— Whuber

Sie korrigieren nur die Varianz.

— SmallChess

Der Schwellenwert wird so gewählt, dass er die Konvergenz der hypergeometrischen Verteilung ( ist ihre SD) anstelle einer Binomialverteilung (für die Abtastung mit Ersetzung) zu einer Normalverteilung sicherstellt ( Dies ist der zentrale Grenzwertsatz (siehe z. B. Die Normalkurve, der zentrale Grenzwertsatz und die Ungleichungen von Markov und Chebychev für zufällige Variablen ). Mit anderen Worten, wenn (dh ist nicht 'zu groß' im Vergleich zu ), kann die FPC sicher ignoriert werden; Es ist leicht zu sehen, wie sich der Korrekturfaktor mit variierendem für ein festes : mit haben wir $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ $n/N\leq 0.05$ $n$ $N$ $n$ $N$ $N=10,000$ $\text{FPC}=.9995$ wenn während wenn . Wenn , nähert sich die FPC 1 und wir sind nahe an der Situation der Probenahme mit Ersatz (dh wie bei einer unendlichen Population). $n=10$ $\text{FPC}=.3162$ $n=9,000$ $N\to\infty$

Um diese Ergebnisse zu verstehen, sollten Sie einige Online-Tutorials zur Stichprobenentnahme lesen, in denen die Stichprobenentnahme ersatzlos durchgeführt wird ( einfache Stichprobenentnahme ). In diesem Online-Lernprogramm zur nichtparametrischen Statistik wird die Berechnung der Erwartung und Varianz für eine Summe veranschaulicht.

Sie werden feststellen, dass einige Autoren im Nenner der FPC anstelle von . Tatsächlich hängt es davon ab, ob Sie mit der Stichproben- oder Populationsstatistik arbeiten: Für die Varianz ist es anstelle von wenn Sie an und nicht an interessiert sind . $N$ $N-1$ $N$ $N-1$ $S^2$ $\sigma^2$

Online-Referenzen kann ich Ihnen vorschlagen

— chl
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Diese Formel wird für endliche Populationen verwendet, aber mit oder ohne Ersatz?

— Skan

@skan ohne ersatz.

— Black Milk