Kann ich eine Kovarianzmatrix in Unsicherheiten für Variablen umwandeln?

Ich habe ein GPS-Gerät, das eine Rauschmessung über die Kovarianzmatrix ausgibt : $\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(Es ist auch beteiligt, aber lassen Sie uns das für eine Sekunde ignorieren.) $t$

Angenommen, ich möchte jemand anderem mitteilen, dass die Genauigkeit in jeder Richtung ( ) eine Zahl ist. . Das heißt, mein GPS kann mir usw. . Mein Verständnis ist, dass in diesem Fall impliziert, dass alle Messgrößen unabhängig voneinander sind (dh die Kovarianz) Matrix ist diagonal). Darüber hinaus ist das Finden des Vektorfehlers so einfach wie das Addieren von Quadraturfehlern (Quadratwurzel der Quadratsumme). $x,y,z$ $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ $x=\bar{x}\pm\mu_x$ $\mu$

Was passiert, wenn meine Kovarianzmatrix nicht diagonal ist? Gibt es eine einfache Zahl , die die Auswirkungen der und Richtungen umfasst? Wie finde ich das bei gegebener Kovarianzmatrix? $\mu_x^*$ $y$ $z$

covariance measurement-error uncertainty

— Dang Khoa
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Was bedeutet es, den Vektorfehler durch Hinzufügen von Quadraturfehlern zu finden? Jede Ihrer Richtungen ist ein Fehler in einer anderen Menge. Wenn Sie Fehler in Quadratur addieren, werden mehrere Fehlerquellen in einer Menge kombiniert. Was verstehen Sie unter dem Vektorfehler?

— Corone

Eine Randnotiz: Bei multiplen Regressionen wird häufig der Standardfehler der Regressionskoeffizienten angegeben, aber tatsächlich werden die Schätzungen für die verschiedenen Koeffizienten korreliert. Es ist möglich, 95% ige Vertrauensellipsoide zu erzeugen, die die Unsicherheit in mehreren Dimensionen darstellen - sehr ähnlich zu der Situation, die Sie in Betracht ziehen.

— Silverfish

Es gibt keine einzelne Zahl, die alle Kovarianzinformationen umfasst - es gibt 6 Informationen, sodass Sie immer 6 Zahlen benötigen.

Es gibt jedoch eine Reihe von Dingen, die Sie in Betracht ziehen könnten.

Erstens ist der Fehler (die Varianz) in einer bestimmten Richtung gegeben durch $i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Wobei der Einheitsvektor in der Richtung von Interesse ist. $\mathbf{e}_i$

Wenn Sie sich dies für Ihre drei Basiskoordinaten ansehen, sehen Sie Folgendes: $(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Der Fehler in jeder der separat betrachteten Richtungen ist also durch die Diagonale der Kovarianzmatrix gegeben. Das ist intuitiv sinnvoll - wenn ich nur eine Richtung betrachte, sollte es keinen Unterschied machen, nur die Korrelation zu ändern.

Sie haben Recht damit, dass Sie einfach Folgendes angeben:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Bedeutet keine Korrelation zwischen diesen drei Aussagen - jede Aussage für sich ist vollkommen korrekt, aber zusammengenommen wurden einige Informationen (Korrelation) gestrichen.

Wenn Sie viele Messungen mit jeweils der gleichen Fehlerkorrelation durchführen (vorausgesetzt, dies kommt von der Messausrüstung), besteht eine elegante Möglichkeit darin, Ihre Koordinaten zu drehen, um Ihre Kovarianzmatrix zu diagonalisieren. Dann können Sie Fehler in jeder dieser Richtungen separat darstellen, da sie jetzt nicht mehr korreliert sind.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich den "Vektorfehler" durch Quadraturaddition verstehen kann. Diese drei Fehler sind Fehler in unterschiedlichen Mengen - sie heben sich nicht gegenseitig auf und ich verstehe nicht, wie Sie sie zusammenfassen können. Meinst du Fehler in der Ferne?

— Corone
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Ja, ich meine Fehler in der Gesamtstrecke, sorry für die Verwirrung.

— Dang Khoa

Aber die Entfernung ist nicht (es sei denn, Sie meinen tatsächlich Taxi-Taxi-Entfernung?), Also addieren sich die Fehler nicht in Quadratur, oder? Wenn wir von Normalität ausgehen, hat eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung auf 3 Freiheitsgraden. Ich denke, die Verteilung der Entfernung wird ohne einige vereinfachende Annäherungen allmählich chaotisch.

d = x + y + z

$d = x + y + z$

d^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$

— Corone

@Corone, wenn Sie sagen "Erstens, der Fehler in eine bestimmte Richtung" Beziehen Sie sich auf die Varianz, indem Sie den Fehler sagen?

— CroCo

@croco ja, das stimmt, da wir mit Kovarianz beginnen

— Corone