Bayesianische Schätzung von Dirichlet-Verteilungsparametern

Ich möchte Parameter von Dirichlet-Mischungsmodellen mithilfe der Gibbs-Probenahme schätzen und habe dazu einige Fragen:

Entspricht eine Mischung von Dirichlet-Verteilungen einem Dirichlet-Prozess? Was sind ihre Hauptunterschiede, wenn nicht?
Wenn ich die Parameter einer einzelnen Dirichlet-Verteilung schätzen möchte, welche Verteilung für Parameter sollte im Bayes'schen Framework als Priors ausgewählt werden?

In allen Arbeiten fand ich eine Schätzung einer multinomialen Verteilung unter Verwendung von Dirichlet-Priors. Ich brauche vielleicht eine Schätzung einer Dirichlet-Verteilung unter Verwendung multinomialer Prioritäten.

Ist die posteriore Funktion auch in Form von DIRICHLET (α + N) ähnlich dem Fall „Schätzung der multinomialen Verteilung unter Verwendung von Dirichlet-Priors“? da die Multiplikation der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für iid-Stichproben bei der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht berücksichtigt wird. Ich kann wieder nicht verstehen warum.

zB wie in diesem Artikel ausgedrückt: http://www.stat.ufl.edu/~aa/cda/bayes.pdf oder http://research.microsoft.com/en-us/um/people/minka/papers/ minka-multinomial.pdf

Also danke für deine Aufmerksamkeit

Meine Daten sind Hyperion (eine Art hyperspektrale Fernerkundungsbilder) und ich möchte eine hyperspektrale Entmischung unter Verwendung einer Mischung von Dirichlet-Quellen durchführen, und ich werde die Gibbs-Abtastmethode für die Parameterschätzung anwenden. Meine Daten haben die Dimension (614 * 512 * 224), die allgemein als AVIRIS-Sensordaten für den Distrikt Cuprite Nevada verfügbar sind und fast 200 MB betragen. Auch diese Daten sind verfügbar über ( http://aviris.jpl.nasa.gov/data/free_data.html ). Leider weiß ich nicht, wie ich meine Daten senden kann.

Ich bitte Sie nur, mir bei statistischen Modellierungsaufgaben für meine Doktorarbeit zu helfen. Ich bin Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir helfen, meine Verwirrungen beim Modellieren zu lösen.

Alles Gute Solmaz

— Solmaz
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Im eindimensionalen Fall ist die Dirichlet-Verteilung eine Beta-Verteilung, und die Bayes'sche Folgerung über die Beta-Parameter ist kein bekanntes Problem.

— Stéphane Laurent

1: Nein 2: Es gibt keinen konventionellen Prior für Dirichlet-Parameter (siehe hier für eine Diskussion). Wie von @Zen festgestellt, sollten Sie jedoch mehr Informationen über Ihre Daten und das Ziel Ihrer Analyse bereitstellen, wenn Sie eine bessere Beratung wünschen.

— Jerad

Um die Dichte eines Konjugats zu berechnen, siehe hier .

Sie müssen das Konjugat jedoch nicht vor dem Dirichlet auswerten, um eine Bayes'sche Schätzung seiner Parameter durchzuführen. Mitteln Sie einfach die ausreichende Statistik aller Stichproben, die die Vektoren der logarithmischen Wahrscheinlichkeiten der Komponenten Ihrer beobachteten kategorialen Verteilungsparameter sind. Diese durchschnittliche ausreichende Statistik sind die Erwartungsparameter des Dirichlets mit maximaler Wahrscheinlichkeit, das zu den Daten passt . Um von Erwartungsparametern zu Quellparametern zu gelangen, z. B. , müssen Sie mit numerischen Methoden lösen: wobei die Digammafunktion ist. $(\chi_i)_{i=1}^n$ $(\alpha_i)_{i=1}^n$

\begin{aligned} χ_{ich} = ψ (α_{ich}) - - ψ (\sum_{j} α_{j}) \forall ich \end{aligned}

$\begin{align} \chi_i = \psi(\alpha_i) - \psi\left(\sum_j\alpha_j\right) \qquad \forall i \end{align}$

ψ

$\psi$

Um Ihre erste Frage zu beantworten: Eine Mischung aus Dirichlets ist kein Dirichlet, da sie zum einen multimodal sein kann.

— Neil G.
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