Bias für Kernel Density Estimator (periodischer Fall)

Der Kernel-Dichteschätzer ist gegeben durch wobei mit einer unbekannten Dichte , - Bandbreite,

$$\hat{f}(x,h)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K(\frac{x-X_{i}}{h})$$ $X_1,...X_n$$f$$h$

$K$ - Kernelfunktion ( , , ). Die Vorspannung kann unter Verwendung der Taylor-Erweiterung berechnet werden: $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)dx=1$$\int_{-\infty}^{\infty}K(x)xdx=0$$\int_{-\infty}^{\infty}K(x)x^2dx<\infty$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{h}K(\frac{x-y}{h})f(y)dy-f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f(x-hy)-f(x)\right)dy$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f'(x)hy+\frac{1}{2}f''(x)(hy)^{2}+o(h^{2})\right)dy=\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+o(h^{2})$$

Umgang mit periodischem Kernel und $f$ ( $\int_{0}^{1}K(x)dx=1$ , $\int_{0}^{1}K(x)xdx=0$ , $\int_{0}^{1}K(x)x^2dx<\infty$ )?

Wie kann ich die Taylor-Erweiterung verwenden? ( $\int_{0}^{1}\frac{1}{h}K(\frac{y-x}{h})f(y)dy=\int_{-\frac{x}{h}}^{1-\frac{x}{h}}K(y)f(x-yh)dy\neq\int_{0}^{1}K(y)f(x-yh)dy$ -Ich kann keine Kernel-Eigenschaften verwenden)

Könnten Sie ein gutes Buch über die Kernelglättung für zirkuläre Daten empfehlen?

Ein kurzer Blick auf Google zeigt dies an, was darauf hinweist, dass Sie beim Arbeiten mit zirkulären Daten zunächst eine andere Definition von "Voreingenommenheit" benötigen:

Wenn wir jedoch Daten auf dem Kreis verwenden, können wir den Abstand im euklidischen Raum nicht verwenden, daher sollten alle Unterschiede θ - θ _i durch Berücksichtigung des Winkels zwischen zwei Vektoren ersetzt werden:

$d_i\theta)= \| \theta -\theta_i \| = \min(|\theta-\theta_i|, 2π -|\theta-\theta_i|).$

- Charles C. Taylor. Automatische Bandbreitenauswahl für die Schätzung der Kreisdichte. Computational Statistics & Data Analysis, Band 52, Ausgabe 7, 15. März 2008, Seiten 3493-3500. doi: 10.1016 / j.csda.2007.11.003

Er verweist auf diese Bücher:

S. Rao Jammalamadaka und A. SenGupta, Themen der Kreisstatistik, World Scientific, Singapur (2001).

KV Mardia und PE Jupp, Richtungsstatistik , John Wiley, Chichester (1999).