Warum ist die Fisher Information Matrix positiv semidefinit?

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Lassen Sie . Die Fisher Information Matrix ist definiert als: $\theta \in R^{n}$

ich (θ)_{ich, j} = - E [\frac{\partial^{2} Log (f (X | θ))}{\partial θ_{ich} \partial θ_{j}} | θ]

$I(\theta)_{i,j} = -E\left[\frac{\partial^{2} \log(f(X|\theta))}{\partial \theta_{i} \partial \theta_{j}}\bigg|\theta\right]$

Wie kann ich nachweisen, dass die Fisher Information Matrix positiv semidefinit ist?

inference linear-algebra fisher-information

— Verrückter
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Ist es nicht der erwartete Wert eines äußeren Produktes der Partitur mit sich selbst?

— Neil G

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Überprüfen Sie dies: http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_information#Matrix_form

Aus der Definition haben wir

{ich}_{ich j} = E_{θ} [(\partial_{ich} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\partial_{j} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))],

$I_{ij} = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\partial_j \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)\right] \, ,$ für , wobei . Ihr Ausdruck für folgt aus diesem unter Gleichmäßigkeitsbedingungen.

i, j = 1, \dots, k

$i,j=1,\dots,k$

\partial_{i} = \partial / \partial θ_{i}

$\partial_i=\partial /\partial \theta_i$

I_{i j}

$I_{ij}$

Für einen Nullvektor folgt aus der Linearität der Erwartung, dass $u = (u_1,\dots,u_k)^\top\in\mathbb{R}^n$

\sum_{ich, j = 1}^{k} u_{ich} {ich}_{ich j} u_{j} = \sum_{ich, j = 1}^{k} (u_{ich} E_{θ} [(\partial_{ich} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\partial_{j} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))] u_{j}) = E_{θ} [(\sum_{ich = 1}^{k} u_{ich} \partial_{ich} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\sum_{j = 1}^{k} u_{j} \partial_{j} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))] = E_{θ} [{(\sum_{ich = 1}^{k} u_{ich} \partial_{ich} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))}^{2}] \geq 0 .

$\sum_{i,j=1}^k u_i I_{ij} u_j = \sum_{i,j=1}^k \left( u_i \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\partial_j \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)\right] u_j \right) \\ = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\sum_{i=1}^k u_i \partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\sum_{j=1}^k u_j \partial_j \log f_{X\mid\Theta} (X\mid\theta)\right)\right] \\ = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\sum_{i=1}^k u_i \partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)^2 \right] \geq 0 \, .$

Wenn diese komponentenweise Notation zu hässlich ist, beachten Sie, dass die Fisher-Informationsmatrix als kann der Bewertungsvektor ist definiert als $H=(I_{ij})$ $H = \mathrm{E}_\theta\left[S S^\top\right]$ $S$

S = {(\partial_{1} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ), \dots, \partial_{k} Log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))}^{⊤} .

$S = \left( \partial_1 \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta), \dots, \partial_k \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta) \right)^\top \, .$

Wir haben also den Einzeiler

u^{⊤} H u = u^{⊤} E_{θ} [S S^{⊤}] u = E_{θ} [u^{⊤} S S^{⊤} u] = E_{θ} [| | S^{⊤} u | |^{2}] \geq 0.

$u^\top H u = u^\top \mathrm{E}_\theta[S S^\top] u = \mathrm{E}_\theta[u^\top S S^\top u] = \mathrm{E}_\theta\left[|| S^\top u ||^2\right] \geq 0.$

— Zen
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(+1) Gute Antwort und willkommen zurück, Zen. Ich machte mir Sorgen, dass wir Sie aufgrund der Länge Ihrer Pause für immer verloren haben könnten. Das wäre eine echte Schande gewesen!

— Kardinal

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ACHTUNG: keine generelle Antwort!

$f(X|\theta)$

— gusl
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