Wie berechnet man die Erwartung von

Wenn $X_i$ exponentiell verteilt ist $(i=1,...,n)$ mit dem Parameter $\lambda$ und $X_i$ ‚s ist voneinander unabhängig, was die Erwartung

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

in Bezug auf $n$ und $\lambda$ und möglicherweise andere Konstanten?

Hinweis: Diese Frage wurde unter /math//q/12068/4051 mathematisch beantwortet . Die Leser würden es sich auch ansehen.

expected-value exponential gamma-distribution

— Isaac
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Die beiden Kopien dieser Frage verweisen aufeinander und entsprechend hat die Statistikseite (hier) eine statistische Antwort und die Mathematikseite eine mathematische Antwort. Es scheint eine gute Einteilung zu sein: Lass es stehen!

— Whuber

Antworten:

Wenn , dann (unter Unabhängigkeit), , so dass ist gamma verteilt (siehe wikipedia ). Also brauchen wir nur . Da $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ , wissen wir, dass . Daher ist (sieheWikipediafür die Erwartung und Varianz der Gammaverteilung). $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
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Vielen Dank. Eine sehr gute Möglichkeit zur Beantwortung der Frage (die zur gleichen Antwort führte) wurde vor einigen Minuten auch auf math.stackexchange (Link oben in der Frage) bereitgestellt.

— Wolfgang,

Die mathematische Antwort berechnet die Integrale unter Verwendung der Linearität der Erwartung. In gewisser Hinsicht ist es einfacher. Aber ich mag Ihre Lösung, weil sie statistisches Wissen ausnutzt : Weil Sie wissen, dass eine Summe unabhängiger Exponentialvariablen eine Gamma-Verteilung hat, sind Sie fertig.

— Whuber

Ich habe es sehr genossen und bin keineswegs Statistiker oder Mathematiker.

— Kortuk

sehr elegante Antwort.

— Cyrus S

@Dilip Der Mathematiker neigt dazu, diese Frage als eine Frage nach einem Integral zu betrachten und sie direkt zu integrieren. Der Statistiker drückt es in bekannten statistischen Größen wie der Varianz und bekannten statistischen Beziehungen wie dem Exponential Gamma um und die Gamma-Familie wird unter Faltung geschlossen. Die Antworten sind die gleichen, aber die Ansätze sind völlig unterschiedlich. Dann stellt sich die Frage, was "eine Integration machen" wirklich bedeutet. Beispielsweise erfolgt dieses komplizierte Integral rein algebraisch.

— Whuber

Die obige Antwort ist sehr schön und beantwortet die Frage vollständig, aber ich werde stattdessen eine allgemeine Formel für das erwartete Quadrat einer Summe bereitstellen und sie auf das hier erwähnte spezifische Beispiel anwenden.

Für jeden Satz von Konstanten ist es eine Tatsachedass $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

this is true by the Distributive property and becomes clear when you consider what you're doing when you calculate $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$ by hand.

Therefore, for a sample of random variables $X_1, ..., X_n$ , regardless of the distributions,

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

provided that these expectations exist.

In the example from the problem, $X_1, ..., X_n$ are iid ${\rm exponential}(\lambda)$ random variables, which tells us that $E(X_{i}) = 1/\lambda$ and ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ for each $i$ . By independence, for $i \neq j$ , we have

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

There are $n^2 - n$ of these terms in the sum. When $i = j$ , we have

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

and there are $n$ of these term in the sum. Therefore, using the formula above,

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

is your answer.

— Macro
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This problem is just a special case of the much more general problem of 'moments of moments' which are usually defined in terms of power sum notation. In particular, in power sum notation:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Then, irrespective of the distribution, the original poster seeks $E[s_1^2]$ (provided the moments exist). Since the expectations operator is just the 1st Raw Moment, the solution is given in the mathStatica software by:

[ The '___ToRaw' means that we want the solution presented in terms of raw moments of the population (rather than say central moments or cumulants). ]

Finally, if $X$ ~ Exponential( $\lambda$ ) with pdf $f(x)$ :

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

then we can replace the moments $\mu_i$ in the general solution sol with the actual values for an Exponential random variable, like so:

All done.

P.S. The reason the other solutions posted here yield an answer with $\lambda^2$ in the denominator rather than the numerator is, of course, because they are using a different parameterisation of the Exponential distribution. Since the OP didn't state which version he was using, I decided to use the standard distribution theory textbook definition Johnson Kotz et al … just to balance things out :)

— wolfies
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