Vektorrechnung in der Statistik

In diesem Semester unterrichte ich eine Klasse zur Integration von Funktionen mehrerer Variablen und zur Vektorrechnung. Die Klasse besteht aus den meisten Wirtschafts- und Ingenieur-Majors, mit ein paar Mathematik- und Physik-Leuten. Ich habe diese Klasse letztes Semester unterrichtet und festgestellt, dass sich viele der Wirtschaftswissenschaftler in der zweiten Hälfte ziemlich gelangweilt haben. Ich konnte mehrere Integrale motivieren, indem ich einige Berechnungen mit gemeinsam verteilten Zufallsvariablen durchführte, aber für den Teil der Vektoranalyse des Kurses war die einzige Motivation, die mir einfiel, die Physik.

Ich frage mich also, ob jemand eine statistische / probabilistische Interpretation eines der Hauptsätze der Vektorrechnung kennt: den Satz von Green, den Satz von Stokes und den Satz der Divergenz. Ein Teil des Problems besteht darin, dass Vektorfelder in der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht sehr häufig auftreten, geschweige denn Divergenz, Gradient oder Curl. Ich habe diese Frage vor ein paar Tagen auch auf math.stackexchange gepostet, aber ich suche immer noch nach weiteren Ideen.

Ein Beispiel, das Sie untersuchen könnten, ist die Quasi-Wahrscheinlichkeit. Die Diskussion in McCullagh & Nelder: Generalized Linear Models verwendet (für den theoretischen Teil) Gradienten und Pfadintegrale in einer wesentlichen Weise! Siehe Kapitel 9 dieses Buches.

Ich bezweifle, dass viele Statistiker Vektorrechnung verwenden müssen, wie sie für Physik und Ingenieurwissenschaften gelehrt wird . Aber für das, was es hier wert ist, sind ein paar Themen, die es zumindest tangential verwenden würden. Das zugrunde liegende Thema hierbei ist, dass holomorphe Funktionen aus der komplexen Analyse, die sich aus harmonischen Funktionen zusammensetzen, durch die Cauchy-Riemann-Gleichungen eng mit den Stokes- und Greenschen Theoremen verbunden sind. Diese Funktionen können sowohl durch Untersuchung des Inneren ihrer Domäne als auch ihrer Grenze untersucht werden.

Wahrscheinlichkeitsströme. Dies gilt nicht nur für die Quantenmechanik. Im Allgemeinen Wahrscheinlichkeit Diffusionen entstehen , wenn zeitlich veränderlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu studieren , die problemlos ändern. Dies schließt die stochastische Version klassischer Systeme wie die Wärmegleichung, Navier Stokes für die Fluiddynamik, Wellengleichungen für die Quantenmechanik usw. ein. Beispiele für Gleichungen sind die Fokker-Planck-Gleichung und Kolmogorov-Rückwärts / Vorwärts- Gleichungen beinhalten Divergenzen, die sich wiederum beziehen zu Wärmegleichungen, Feynan-Kac-Integralen, Dirichlet-Problemen und Greenschen Funktionen. Die Schlüsselwörter hier sind komplexe harmonische Funktionen, die die Mittelwerteigenschaft erfüllen, was wiederum eine Folge des Integralsatzes von Green und des Satzes von Stokes ist. Ein klassisches Beispiel ist die Berechnung der Austrittszeit einer Diffusion aus einem geschlossenen Bereich, die sich auf die Bewertung von Integralen an der Grenze der Oberfläche und die Ausnutzung der Harmonizität innerhalb des Bereichs reduziert.

Das Hauptbeispiel hier sind Probleme mit der Brownschen Bewegung und im Allgemeinen die breite Klasse der Ito-Diffusionen . Ein wunderbares (und exzentrisches!) Buch darüber ist Green, Brown and Probability des legendären Kai Chung.

Der Zerfallsatz für die Wahrscheinlichkeit ist implizit Stokes 'Thoerem, indem man ein dreidimensionales Wahrscheinlichkeitsmaß an der Grenze der Oberfläche auflöst, die seinen Träger umschließt.

In der statistischen Mechanik und in Markov-Zufallsfeldern gibt es eine große Prävalenz der Erhaltung in Form von Strömen. Das Ising-Modell, insbesondere bei Kritikalität, und seine Verwandten können unter dem Gesichtspunkt diskreter harmonischer und holomorpher Funktionen untersucht werden. Aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen ergibt sich sowohl der Satz von Green als auch der Satz von Stokes, indem die Ströme sowohl divergenzfrei als auch kräuselfrei sind, was zusammen bedeutet, dass das zugrunde liegende Feld holomorph ist. Eine gute Referenz hierzu ist die Arbeit von Smirnov, Chelkak und Dominil-Copin .