Differenz der Gamma-Zufallsvariablen

Wie ist die Verteilung der Differenz bei zwei unabhängigen Zufallsvariablen und , dh ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Wie würde ich das Ergebnis ableiten, wenn das Ergebnis nicht bekannt ist?

distributions gamma-distribution

— FBC
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Ich denke, kann relevant sein: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Leider nicht relevant, berücksichtigt dieser Beitrag die gewichtete Summe von Gamma-Zufallsvariablen, bei denen die Gewichte streng positiv sind. In meinem Fall wären die Gewichte +1 bzw. -1.

— FBC

Das Moschopoulos-Papier behauptet, dass die Methode auf lineare Kombinationen erweitert werden kann, aber Sie haben Recht, dass die Neuskalierung auf Gewichte größer als 0 beschränkt zu sein scheint. Ich stehe korrigiert da.

— Dimitriy V. Masterov

Es gibt wenig Hoffnung, etwas Einfaches oder Geschlossenes abzuleiten, wenn die beiden Skalierungsfaktoren nicht gleich sind.

— whuber

Nur eine kleine Bemerkung: Für den Sonderfall exponentiell verteilter Wohnmobile mit demselben Parameter lautet das Ergebnis Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Ich werde skizzieren, wie das Problem angegangen werden kann, und angeben, was meiner Meinung nach das Endergebnis für den Sonderfall sein wird, wenn die Formparameter Ganzzahlen sind, aber die Details nicht ausfüllen.

Beachten Sie zunächst, dass Werte in annimmt und daher Unterstützung . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Zweitens von der Standard - Ergebnisse , dass die Dichte der Summe zweier unabhängiger kontinuierlichen Zufallsvariablen ist die Faltung ihrer Dichten, das heißt, und dass die Dichte der Zufallsvariablen ist , ableitendass
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Drittens ist für nicht negative Zufallsvariablen und beachten, dass der obige Ausdruck zu vereinfacht wird. $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Schließlich bedeutet die Parametrisierung eine Zufallsvariable mit der Dichte $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
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+1: Nachdem ich mir dieses Problem schon einmal angesehen habe, finde ich diese Antwort faszinierend.

— Neil G

Ich werde diese Antwort akzeptieren, obwohl es anscheinend keine geschlossene Lösung gibt. Es ist so nah wie es nur geht, danke!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Meines Wissens wurde die Verteilung der Differenz zweier unabhängiger Gamma-RVs erstmals 1993 von Mathai untersucht. Er leitete eine Lösung in geschlossener Form ab. Ich werde seine Arbeit hier nicht reproduzieren. Stattdessen werde ich Sie auf die Originalquelle verweisen. Die Lösung für geschlossene Formen finden Sie auf Seite 241 als Satz 2.1 in seiner Arbeit über nicht zentrale verallgemeinerte Laplace-Eigenschaften quadratischer Formen in normalen Variablen .

— Nathan Crock
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