Finden der Verteilung einer Statistik

Studieren für einen Test. Konnte diesen nicht beantworten.

Sei iid Zufallsvariablen. Definieren $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ $\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

und , $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Was ist die Verteilung von , ? $\overline{W}_n$ $S_n^2$

Wie bekomme ich eine Vorstellung von der besten Methode, wenn ich ein solches Problem starte?

normal-distribution data-transformation

— Taylor
quelle

Möchten Sie die Verteilung für festes

oder die asymptotische Verteilung? Interessieren Sie sich für die Randverteilungen von

und

oder deren gemeinsame Verteilung?

n

$n$

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$

S_{n}^{2}

$S_n^2$

— Kardinal

Entschuldigung für die Mehrdeutigkeit. Halten Sie

fest, und ich bin nur an ihren Rändern interessiert. Sie fragen später, ob die beiden Statistiken unabhängig sind, daher erwarte ich eine Verwendung des Basu-Theorems.

n

$n$

— Taylor

Es ist ein Trick.

Bedingt auf wir, dass gleich $X_{3,i} = x$ $W_i$ Dies folgt aus der Tatsache, dass dies für festeseine einfache lineare Transformation der beiden unabhängigen-verteilten Variablenund. Woher ist

\frac{{X.}_{1, ich} + {X.}_{2, ich} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \sim N. (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$

x

$x$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

X_{1, i}

$X_{1,i}$

X_{2, i}

$X_{2,i}$

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$ hat eine Normalverteilung. Der bedingte Mittelwert ist 0 und die bedingte Varianz ist (durch die Unabhängigkeitsannahmen)

V. ({W.}_{ich} ∣ {X.}_{3, ich} = x) = \frac{V. ({X.}_{1, ich}) + V. ({X.}_{2, ich}) x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

Da die bedingte Verteilung von nicht von abhängt, schließen wir, dass es auch seine Randverteilung ist, $W_i \mid X_{3,i} = x$ $x$ $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Der Rest ergibt sich aus Standardergebnissen zu Durchschnittswerten und Residuen für unabhängige normale Zufallsvariablen. Basus Theorem wird für nichts benötigt.

— NRH
quelle

sehr beeindruckend!

— Cam.Davidson.Pilon

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$