Konfidenzintervall für die Bernoulli-Probenahme

Ich habe eine zufällige Stichprobe von Bernoulli-Zufallsvariablen , wobei iidrv und sind und ein unbekannter Parameter ist. $X_1 ... X_N$ $X_i$ $P(X_i = 1) = p$ $p$

Offensichtlich kann man einen Schätzwert für finden : . $p$ $\hat{p}:=(X_1+\dots+X_N)/N$

Meine Frage ist, wie kann ich ein Konfidenzintervall für erstellen ? $p$

confidence-interval binomial bernoulli-distribution

— Amöbe sagt Reinstate Monica
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Die Wikipedia enthält Details zur Berechnung der Konfidenzintervalle für die Bernoulli-Probenahme .

Antworten:

Wenn der Durchschnitt , nicht in der Nähe ist oder , und die Probengröße ausreichend groß ist (dh und kann das Konfidenzintervall durch eine Normalverteilung abgeschätzt werden , und das so konstruierte Konfidenzintervall: $\hat{p}$ $1$ $0$ $n$ $n\hat{p}>5$ $n(1-\hat{p})>5$

$\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$ $\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Wenn und , das Konfidenzintervall etwa $\hat{p} = 0$ $n>30$ $95\%$ (Javanovic und Levy, 1997); das Gegenteil gilt für. In der Literaturstelle wird auch die Verwendung vonund(wobei die Vorinformationen später einbezogen werden)erörtert. $[0,\frac{3}{n}]$ $\hat{p}=1$ $n+1$ $n+b$
$n$ $\hat{p}$

R stellt Funktionen binconf {Hmisc}und binom.confint {binom}die in der folgenden Weise verwendet werden:

set.seed(0)
p <- runif(1,0,1)
X <- sample(c(0,1), size = 100, replace = TRUE, prob = c(1-p, p))
library(Hmisc)
binconf(sum(X), length(X), alpha = 0.05, method = 'all')
library(binom)
binom.confint(sum(X), length(X), conf.level = 0.95, method = 'all')

Agresti, Alan; Coull, Brent A. (1998). "Approximate ist besser als 'exact' für die Intervallschätzung von Binomialproportionen". The American Statistician 52: 119–126.

Jovanovic, BD und PS Levy, 1997. Ein Blick auf die Dreierregel. Der amerikanische Statistiker Vol. 51, Nr. 2, S. 137-139

Ross, TD (2003). "Genaue Konfidenzintervalle für die Schätzung des Binomialanteils und der Poisson-Rate". Computer in Biologie und Medizin 33: 509–531.

— David LeBauer
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(+1) Gute Antwort. Dies wird in Zukunft eine Referenz für ähnliche Fragen sein, denke ich. Cross-Posting ist jedoch ungewöhnlich. Tatsächlich glaube ich, dass es verpönt ist, weil es viele Aspekte des Feedback- / Referenzierungs- / Threading- / Kommentarsystems durcheinander bringt. Bitte ziehen Sie in Betracht, eine der Kopien zu entfernen und sie durch einen Link in einem Kommentar zu ersetzen.

— Whuber

@whuber danke für das feedback. Ich habe die andere Kopie entfernt.

— David LeBauer

Was sind in der ersten Formel z1 und alpha?

— Cirdec

z_{1 - α / 2}

$z_{1-\alpha/2}$

1 - α / 2

${1-\alpha/2}$

α

$\alpha$

3 / n

$3/n$

Konfidenzintervalle für maximale Wahrscheinlichkeit

$p$

$\hat{\beta}_0 = \log(\hat{p}/(1-\hat{p}))$

$\alpha$ $\beta_0$

CI (β_{0})_{α} = {\hat{β}}_{0} \pm Z_{α / 2} \sqrt{1 / (n \hat{p} (1 - \hat{p})}

$\text{CI}(\beta_0)_\alpha = \hat{\beta}_0 \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \sqrt{1/(n\hat{p}(1-\hat{p})}$

$p$

CI (p)_{α} = 1 / (1 + \exp (- CI (β_{0})_{α})

$\text{CI}(p)_\alpha = 1/(1+\exp(-\text{CI}(\beta_0)_\alpha)$

Dieses CI hat den zusätzlichen Vorteil, dass die Anteile im Intervall zwischen 0 und 1 liegen und das CI immer schmaler als das normale Intervall ist, während es auf dem richtigen Pegel liegt. Sie können dies sehr einfach in R erhalten, indem Sie Folgendes angeben:

set.seed(123)
y <- rbinom(100, 1, 0.35)
plogis(confint(glm(y ~ 1, family=binomial)))

    2.5 %    97.5 % 
0.2795322 0.4670450

Genaue binomiale Konfidenzintervalle

$Y = n\hat{p}$ $(n,p)$ $\hat{p}$

{CI}_{α} = (F_{\hat{p}}^{- 1} (0.025), F_{\hat{p}}^{- 1} (0.975))

$\text{CI}_\alpha = (F^{-1}_{\hat{p}}(0.025), F^{-1}_{\hat{p}}(0.975))$

$p$

qbinom(p = c(0.025, 0.975), size = length(y), prob = mean(y))/length(y)
[1] 0.28 0.47

Median unverzerrte Konfidenzintervalle

$p$ $p_{1-\alpha/2}$

p_{1 - α / 2} : P (Y = 0) / 2 + P (Y > y) > 0.975

$p_{1-\alpha/2} : P(Y = 0)/2 + P(Y > y) > 0.975$

Dies ist auch eine Rechenroutine.

set.seed(12345)
y <- rbinom(100, 1, 0.01) ## all 0
cil <- 0
mupfun <- function(p) {
  0.5*dbinom(0, 100, p) + 
    pbinom(1, 100, p, lower.tail = F) - 
    0.975
} ## for y=0 successes out of n=100 trials
ciu <- uniroot(mupfun, c(0, 1))$root
c(cil, ciu)

[1] 0.00000000 0.05357998 ## includes the 0.01 actual probability

Die letzten beiden Methoden sind im epitoolsPaket in R implementiert .

— AdamO
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