Parameterschätzung der Exponentialverteilung mit vorgespannter Abtastung

Ich möchte den Parameter der Exponentialverteilung aus einer Stichprobenpopulation berechnen, die unter voreingenommenen Bedingungen aus dieser Verteilung entnommen wurde. Soweit ich weiß, ist für eine Stichprobe von n Werten der übliche Schätzer . Meine Stichprobe ist jedoch wie folgt voreingenommen:e - λ x λ = $\lambda$$e^{-\lambda x}$$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$

Aus einer vollständigen Population von m Elementen, die aus der Exponentialverteilung gezogen wurden, sind nur die n kleinsten Elemente bekannt. Wie kann ich den Parameter in diesem Szenario schätzen ?$\lambda$

Etwas formeller, wenn iid-Stichproben sind, die aus , so dass wir für jedes , dann wie kann ich schätzen aus der Menge \ {x_1, x_2, x_3, ..., x_n \} wo n <m .e - λ x i < j x i ≤ x j λ { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } n < $\{x_1,x_2,x_3,...,x_m \}$$e^{-\lambda x}$$i < j$$x_i \leq x_j$$\lambda$$\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$$n < m$

Vielen Dank!

Michael

Der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter der Exponentialverteilung unter Typ-II-Zensur kann wie folgt abgeleitet werden. Ich gehe davon aus, dass die Stichprobengröße , von denen die kleinsten beobachtet werden und die größten nicht beobachtet werden (aber bekanntermaßen existieren).$m$m - $n < m$$m - n$

Nehmen wir (zur Vereinfachung der Notation) an, dass das beobachtete$x_i$ geordnet sind: . Dann ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte von x 1 , … , x n :$0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$$x_1, \dots, x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

wobei sich das erste Exponential auf die Wahrscheinlichkeiten des beobachteten x i und das zweite auf die Wahrscheinlichkeiten des m - n unbeobachteten x i bezieht, die größer als x n sind (was nur 1 ist - die CDF bei x n ) zu:$n$$x_i$$m-n$$x_i$$x_n$$x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

(Beachten Sie, dass die Summe zu läuft, da der Koeffizient von x n ein " + 1 " enthält .) Wenn Sie das Protokoll nehmen, führt die Ableitung wrt λ usw. zum Maximum-Likelihood-Schätzer:$n-1$$+1$$x_n$$\lambda$

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

Dies verlinkt @ jbowmans Antwort auf meinen Kommentar. Unter allgemeinen Arbeitsannahmen kann man nämlich die "Standardüberlebenswahrscheinlichkeit" unter Typ-II-Zensur verwenden.

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1: Beachten Sie, dass dies nicht auf die Exponentialverteilung beschränkt ist.

PS2: Details finden Sie in Abschnitt 2.2 des Buches von Lawless .

$n$

$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$$x_k$$0<k<m$$k$

$n$$\Phi$$k$$k/n$$k=n/2$