Summe der Binomial- und Poisson-Zufallsvariablen

Wenn wir zwei unabhängige Zufallsvariablen und , wie groß ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von ? $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

NB Das sind keine Hausaufgaben für mich.

— Matteo Fasiolo
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Ich denke du hast versucht dich zu verschlingen? en.wikipedia.org/wiki/… Wo bist du festgefahren? Ich nehme an, es gibt keine geschlossene Form, sonst wäre die Lösung wahrscheinlich hier: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa

Ja, das habe ich versucht, aber vielleicht habe ich hier eine Antwort gefunden: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer konfluente hypergeometrische Funktion..hugh!

— Matteo Fasiolo

Ich habe das Hausaufgaben-Tag entsprechend seiner Verwendung auf dieser Site gelesen . Prost. :-)

— Kardinal

Roman bedeutet neu (vorher nicht bekannt oder veröffentlicht). Ich stimme auch nicht zu, dass die Verwendung bekannter Methoden zur Lösung neuer Probleme zu Hausaufgaben führt - das Gleiche gilt für die Mehrheit der Zeitschriftenartikel, in denen Ergebnisse zu Verteilungen veröffentlicht werden.

— Wolfies

Wie in vielen anderen Fällen in Statistiken, in denen eine hypergeometrische Funktion mit integralen Argumenten angezeigt wird, können Sie verstehen, dass es sich um eine Kurzschreibweise für die implizite (endliche) Summe in der Faltung handelt, wenn Sie dies wünschen. Der Vorteil eines solchen Ausdrucks besteht darin, dass es unzählige Möglichkeiten gibt, ihn in einfachere Formen zu manipulieren, und dass er häufig ausgewertet werden kann, ohne die Summierung tatsächlich durchzuführen.

— whuber

Antworten:

$p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— Dilip Sarwate
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P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
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Dilip Sarwate erklärte vor 7 Jahren, dass keine Vereinfachung möglich sei, obwohl dies in Kommentaren in Frage gestellt wurde. Ich halte es jedoch für nützlich zu beachten, dass die Berechnung auch ohne Vereinfachung in jeder Tabelle oder Programmiersprache recht einfach ist.

Hier ist eine Implementierung in R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
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Dilip hat nicht gezeigt, dass eine Vereinfachung der Beträge nicht möglich ist: Er hat eine solche Behauptung aufgestellt (und die Behauptung scheint nicht richtig zu sein). Wenn Sie den vom OP bereitgestellten Links folgen, wird eine Lösung für die konfluenten hypergeometrischen Funktionen von Kummer bereitgestellt.

— Wolfies

@wolfies - Das wäre ein sehr interessanter Punkt in einer neuen Antwort auf diese alte Frage. Wahrscheinlich interessanter als meins.

— Pere

Ein potenziell schnellerer Ansatz für großes n im Binomial und großes Lambda würde schnelle Fourier-Transformationen (oder ähnliches) beinhalten. Ich habe es erfolgreich bei einer Reihe von Problemen in der realen Welt eingesetzt, bei denen die Faltung nicht algebraisch günstig ist, aber numerische Antworten ausreichen und bei denen mehrere unabhängige Variablen hinzugefügt wurden.

— Glen_b -Rate State Monica

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

Tatsächlich. Ich habe mit meiner eigenen Anwendung etwas Ähnliches gemacht - wenn ich weit genug hinausging, wurden die erforderlichen Quantile so genau wie nötig ausgegeben.

— Glen_b -State Monica