Obergrenzen für die Copuladichte?

Die Fréchet-Hoeffding-Obergrenze gilt für die Kopula-Verteilungsfunktion und ist gegeben durch

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq Mindest {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Gibt es eine ähnliche (in dem Sinne, dass es von den Randdichten abhängt) Obergrenze für die anstelle der CDF? $c(u_1,...,u_d)$

Jede Referenz wäre sehr dankbar.

— Coppola
quelle

Was für eine Art von Bindung suchst du? Eine Beschreibung Ihres tatsächlichen Problems kann hilfreich sein. Technisch gesehen lautet die Antwort auf zwei verschiedene Arten "nein": (i) Es kann sein, dass es keine Dichte gibt (!) Und (b) Wenn dies der Fall wäre, könnten wir sie für eine Menge von Maß Null so ändern, dass sie so groß ist, wie wir ' Ich mag. Wir wissen jedoch etwas . Insbesondere sei

c

$c$ vorhanden und sei

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ ein beliebiges (Hyper-) Rechteck mit Seitenlängen

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$ . Dann sicherlich

{e s s ich n f}_{x \in R} c (x) \leq (\underset{ich}{Mindest} w_{ich}) / \prod_{ich} w_{ich} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— Kardinal

Da Sie leicht Beispiele konstruieren können, die diese Grenze erfüllen, vermute ich, dass nicht zu viel mehr gesagt werden kann. Aber darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.

— Kardinal

@ Kardinal Vielen Dank für Ihre Kommentare. In der Tat gehe ich davon aus, dass die Dichte vorhanden ist, um den trivialen Fall zu vermeiden. Ich habe nach einer Obergrenze für die Randdichten gesucht. Besonders interessiert mich die Gaußsche Copula.

— Coppola

Wenn es sich um eine Kopula handelt, sind alle Randdichten einheitlich, dh eine konstante Funktion. :)

— Kardinal

@ Kardinal Verzeih mein Französisch. Lassen Sie mich meine Frage umformulieren. Die Gaußsche Copula (die mich besonders interessiert) ist gegeben durch

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$ . Wobei

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$ und

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$ . Dies kann zum Beispiel nicht durch das Produkt

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$ . Also suchte ich nach einer anderen Obergrenze, die nur die Ränder betrifft. Und natürlich habe ich versucht, die Frage allgemeiner zu stellen und sie mit den oben genannten Grenzen in Beziehung zu setzen. Entschuldigung für meine vagen Worte.

— Coppola

Im Allgemeinen gibt es keine. Beispielsweise hat im Fall der bivariaten Gaußschen Kopula die Größe im Exponenten einen Sattelpunkt von (0,0) und explodiert daher in zwei Richtungen ins Unendliche. Wenn Sie auf eine Klasse von Copula-Dichten stoßen, die tatsächlich begrenzt sind, lassen Sie es mich bitte wissen!

— MHankin
quelle

Können Sie klarstellen, was Sie mit der "Menge im Exponenten" meinen? Das Vorhandensein eines "Sattelpunktes" scheint keiner Standarddefinition einer Gaußschen Verteilung zu entsprechen.

— whuber

@whuber Die Dichte einer Gaußschen Copula ist keine Standard-Gaußsche. Wenn Sie sich den obigen Kommentar von coppola ansehen, werden Sie feststellen, dass die Dichte der Gaußschen Copula ein bei dem Sie nur die inverse Kovarianzmatrix erwarten würden. Die inverse Kovarianzmatrix sollte symmetrisch positiv semidefinit sein, aber das -I erlaubt eine nicht positive Definitivität und daher einen Sattelpunkt. Das Vorhandensein ist auf die Änderung der Variablen bei der Konvertierung von nach

R^{- 1} - ich

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Ja, das ist mir bewusst - aber das impliziert Ihre Antwort nicht. Diese Kopula wird durch die Korrelationsmatrix parametrisiert , aber für jedes solche es nur eine Funktion von . Als solches explodiert es niemals ins Unendliche. Es gibt keine gültigen Korrelationsmatrizen (dh keine entarteten), für die diese Copula nicht begrenzt ist. Aus diesen Gründen habe ich um eine Klarstellung Ihrer Antwort gebeten.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Ich habe dir gerade eine bearbeitbare Version eines ausführlicheren Artikels meines Beispiels per E-Mail geschickt. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie der Meinung sind, dass es korrekt aussieht. In diesem Fall werde ich es meiner obigen Antwort hinzufügen. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin