Verallgemeinerung der multivariaten Normalverteilung und Klassifikation

Ich interessiere mich für eine Familie multivariater Verteilungen, die als Verallgemeinerung der multivariaten Normalverteilung angesehen werden können, sofern sie durch einen Erwartungswert und eine Kovarianzmatrix sowie eine monoton abnehmende Funktion so, dass die Dichte wobei ist die Mahalanobis-Entfernung. Die multivariate Normale wird natürlich durch wiederhergestellt . $\vec \mu$ $\Sigma$ $g(d)$

p (\vec{x}) \propto g (Δ (\vec{x}, \vec{μ}))

$p(\vec x) \propto g \left ( \Delta(\vec x, \vec \mu) \right )$

Δ (\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^{T} Σ^{- 1} (\vec{a} - \vec{b})}

$\Delta(\vec a, \vec b) = \sqrt { (\vec a - \vec b)^T \Sigma^{-1} (\vec a - \vec b) }$

g (d) = \exp (- \frac{1}{2} d^{2})

$g(d) = \exp (- \frac12 d^2 )$

Meine erste Frage lautet: Wie heißt diese Distributionsfamilie?

Es ist einfach zu zeigen, dass für die Klassifizierung eines gegebenen Datenpunkts in eine von zwei oder mehr Klassen, von denen jede durch eine solche Dichte mit unterschiedlichen aber identischen und , optimale Klassifizierungsgrenzen stückweise linear sind (hyperplanar). $\mu$ $\Sigma$ $g(d)$

Meine zweite Frage lautet: Ist dies ein Standardergebnis, und wenn ja, wie lautet die Referenz für die Standardliteratur (Lehrbuch) dafür?

— A. Donda
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Meines Wissens gibt es zwei Verteilungsfamilien, die sich auf Ihre Beschreibung beziehen: 1. Elliptische Verteilungen und 2. Sphärische Verteilungen .

Hallo @Procrastinator, es fühlt sich komisch an, wenn ein Beitrag von jemand anderem bearbeitet wird, aber ich verstehe Ihren Standpunkt. - In Bezug auf Ihren Kommentar glaube ich, dass elliptische Verteilungen genau das sind, was ich meine, und sphärische Verteilungen sind ein Sonderfall. Daher denke ich, dass das, was Sie geschrieben haben, kein Kommentar, sondern eine Antwort ist. Vielen Dank! - Unter Verwendung der neu gefundenen Terminologie ergab eine Suche nach ihrer Verwendung bei der Klassifizierung immer noch nichts, sodass meine zweite Frage noch offen ist.

— A. Donda

Die Antwort auf die erste Frage gab Procrastinator in einem Kommentar: Die Familie heißt Elliptical Distributions . Die Standard-Lehrbuchreferenz scheint zu sein

Fang, K., Kotz, S., Ng, KW, 1990. Symmetrische multivariate und verwandte Verteilungen. Chapman und Hall.

In Bezug auf die zweite Frage scheint es, dass die meiste Literatur zur Klassifizierung entweder multivariate Normalverteilungen oder vollständig nichtparametrische Verfahren berücksichtigt. Ich habe jedoch eine Veröffentlichung gefunden, die Klassifizierungsalgorithmen vergleicht, die auf verschiedenen Schätzern von und basieren , und dies im Zusammenhang mit elliptischen Verteilungen: $\vec \mu$ $\Sigma$

Hartikainen, A., Oja, H., 2006. Zu einigen parametrischen, nichtparametrischen und semiparametrischen Diskriminierungsregeln in: Datentiefe: Robuste multivariate Analyse, Computergeometrie und Anwendungen. American Mathematical Society, S. 61–70.

— A. Donda
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