Gilt der multivariate zentrale Grenzwertsatz (CLT), wenn Variablen eine perfekte zeitgleiche Abhängigkeit aufweisen?

$X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

Die Motivation: Meine Motivation für die Frage ergibt sich aus der Tatsache, dass es seltsam (aber wunderbar) ist, dass $S_n$ und $T_n$ perfekt abhängig sind, wenn $n = 1$ , aber die Implikation der multivariaten CLT ist, dass sie sich der Unabhängigkeit als nähern $n \rightarrow \infty$ (Dies würde folgen, da $S_n$ und $T_n$ für alle sind. $n$ Wenn sie also asymptotisch sind , müssen sie auch asymptotisch unabhängig sein.)

Vielen Dank im Voraus für alle Antworten oder Kommentare!

ps, Wenn Sie Referenzen usw. angeben können, dann umso besser!

— Colin T Bowers
quelle

Keine Antwort, aber ein Kommentar. Ich finde das nicht sehr überraschend. Die Abhängigkeit, die Sie für n = 1 feststellen, nimmt mit zunehmendem n schnell ab.

— Erik

@egbutter hat eine gute Antwort geliefert. Wenn Sie immer noch nach einer Alternative oder einer zusätzlichen Intuition suchen, rufen Sie mich an und ich werde sehen, wie ich etwas anderes schreibe.

— Kardinal

@cardinal Vielen Dank für das Angebot, aber ich bin an dieser Stelle ziemlich glücklich - ich habe das Kopfgeld an egbutter vergeben. Ich glaube, ich habe die Intuition. Mein Hauptzweck beim Posten war es zu sehen, ob jemand reingesprungen ist und gesagt hat "Nein, nein, nein, du hast alles falsch gemacht wegen ..." :-) Prost.

— Colin T Bowers

Antworten:

Die kurze Antwort, wie ich Ihr q verstehe, lautet "Ja, aber ...". Die Konvergenzraten für S, T und alle anderen Momente sind nicht unbedingt gleich. Schauen Sie sich die bestimmenden Grenzen mit dem Berry-Esseen-Theorem an .

Falls ich Ihr q falsch verstehe, halten Sn und Tn unter Bedingungen schwacher Abhängigkeit (Mischen) sogar an der CLT fest: Überprüfen Sie die CLT von Wikipedia auf abhängige Prozesse .

CLT ist solch ein allgemeiner Satz - der grundlegende Beweis erfordert nichts weiter als die Konvergenz der charakteristischen Funktion von Sn und Tn zur charakteristischen Funktion der Standardnormalen, dann besagt der Levy-Kontinuitätssatz, dass die Konvergenz der charakteristischen Funktion die Konvergenz der Verteilung impliziert.

John Cook bietet eine große Erklärung von CLT Fehler hier .

— egbutter
quelle

Danke für die Antwort. Ich bin nicht wirklich besorgt über die Konvergenzrate, was diese Frage betrifft, noch darüber, ob das CLT unter allgemeineren Bedingungen, z. B. Abhängigkeit, Bestand haben wird. Was ich wirklich gehofft habe, ist eine Referenz oder Aussage, die die Verwendung der multivariaten CLT rechtfertigt, wenn die i-te Komponente jeder Summe eine perfekte zeitgleiche Abhängigkeit aufweist. Ich habe später in Davidsons "Stochastic Limit Theory" eine Referenz gefunden, die besagt, dass die multivariate CLT bei willkürlicher gleichzeitiger Abhängigkeit gilt, suche aber immer noch nach ein wenig Strenge um diese Aussage.

— Colin T Bowers

Es hört sich so an, als würden Sie das überdenken. Sind Ihre i in [1, n] die "zeitgleichen" Komponenten, auf die Sie sich beziehen? Wenn ja, dann ist der wichtige Punkt, dass Ihr Sn und Tn immer noch konvergieren (Sie können sich dies mit der gleichen Methode wie der oben erwähnte CLT-Beweis der "alten Schule" beweisen) - aber für ein gegebenes i werden ihre Fehler Sei anders. Das ändert nichts an der Tatsache, dass CLT gilt. Die multi / univariate Unterscheidung ist nicht wichtig.

— Egbutter

Ja, das i sind die zeitgenössischen Komponenten. Guter Vorschlag, das Beispiel durch einen Beweis zu führen. Ich hatte das tatsächlich getan und keine Probleme gefunden, was mich paradoxerweise nervöser machte. Vielleicht überdenke ich an dieser Stelle die Dinge :-) Nochmals vielen Dank für die Antwort. Wenn bis zum Ende des Tages niemand anderes einen Riss bei einer Antwort hat, werde ich Ihre Antwort als Antwort markieren. Prost.

— Colin T Bowers

Ich kann mich durchaus einfühlen - ich mache oft das Gleiche! :)

— egbutter

Das beweist natürlich nichts, aber ich finde es immer sehr praktisch, Simulationen durchzuführen und Diagramme zu zeichnen, um theoretische Ergebnisse zu verstehen.

Dies ist ein besonders einfacher Fall. Wir erzeugen zufällige Normalvariablen und berechnen und ; mal wiederholen . Dargestellt sind die Graphen für und . Es ist leicht zu erkennen, dass die Abhängigkeit mit zunehmendem schwächer wird. bei der Graph von der Unabhängigkeit kaum zu unterscheiden. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

— Hong Ooi
quelle