Warum ist die Grenze einer Chi-Quadrat-Verteilung eine Normalverteilung?

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Mein Professor behauptete, dass eine Normalverteilung hat. Die Behauptung wurde auf der Grundlage des zentralen Grenzwertsatzes aufgestellt: Als haben wir ein Normal . Ich sehe nicht, wie dies gültig oder wahr ist, da diese Behauptung auf der linken Seite eine Grenze von haben würde , aber auch auf der rechten Seite erscheint. Außerdem hängen und beide von ... $\lim_{p\to\infty}\chi^2_p$ $p\to\infty$ $(p\mu, p^2\sigma^2)$ $p$ $p$ $\sigma^2$ $\mu$ $p$

Was fehlt mir und wie kann ich mich von der Verteilung dieses Limits überzeugen?

— Narr126
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Sie vermissen nichts und die Behauptung Ihres Professors ist aus genau den gleichen Gründen falsch, die Sie sich ausgedacht haben: Begrenzungsoperationen benötigen ein festes Ziel und kein bewegliches, bei dem

p

$p$ im Grenzwert erscheint. Was ist richtig, dass die Verteilung eines geeignet modularisiert (Null - Mittelwert, Varianz) Zufallsvariable mit Bezug zu

χ_{p}^{2}

$\chi_p^2$ ist mit der Standard - Normalzufallsverteilung konvergieren.

— Dilip Sarwate

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Diese Eigenschaft folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz unter Verwendung der Tatsache, dass die Chi-Quadrat-Verteilung als Verteilung einer Summe von Quadraten unabhängiger normaler Standard-Zufallsvariablen erhalten wird. Wenn Sie eine Folge von Zufallsvariablen $Z_1,Z_2,Z_3, ... \sim \text{IID N}(0,1)$ haben, haben Sie:

χ_{p}^{2} \equiv \sum_{i = 1}^{p} Z_{i}^{2} \sim ChiSq (p) .

$\chi_p^2 \equiv \sum_{i=1}^p Z_i^2 \sim \text{ChiSq}(p).$

Nun sind die Zufallsvariablen $Z_1^2,Z_2^2,Z_3^2, ...$ IID mit dem Mittelwert $\mathbb{E}(Z_i^2) = 1$ und der Varianz $\mathbb{V}(Z_i^2) = 2 < \infty$ , also haben wir $\mathbb{E}(\chi_p^2) = p$ und $\mathbb{V}(\chi_p^2) = 2p$ . Wenn Sie den klassischen zentralen Grenzwertsatz anwenden, erhalten Sie:

lim_{p \to \infty} P (\frac{χ_{p}^{2} - p}{\sqrt{2 p}} ⩽ z) = Φ (z) .

$\lim_{p \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Bigg( \frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \leqslant z \Bigg) = \Phi(z).$

Eine andere Art, dieses formale einschränkende Ergebnis zu schreiben, ist folgende:

\frac{χ_{p}^{2} - p}{\sqrt{2 p}} \overset{Dist}{\to} N (0, 1) .

$\frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \overset{\text{Dist}}{\rightarrow} \text{N}(0, 1).$

Dies ist das formale Konvergenzergebnis, das für die Chi-Quadrat-Verteilung gilt. Informell haben wir für große die ungefähre Verteilung: $p \in \mathbb{N}$

χ_{p}^{2} \overset{Approx}{\to} N (p, 2 p) .

$\chi_p^2 \overset{\text{Approx}}{\rightarrow} \text{N}(p, 2p).$

Obwohl nicht streng korrekt, wird diese informelle Annäherung manchmal als eine Art Konvergenzergebnis behauptet, das sich informell auf die Konvergenz bezieht, bei der auf beiden Seiten erscheint. (Oder manchmal wird es durch Hinzufügen eines geeigneten Bestellbegriffs streng korrekt gemacht.) Dies ist vermutlich das, worauf sich Ihr Professor bezog. $p$

In Bezug auf diese Eigenschaft ist anzumerken, dass die Gammaverteilung gegen die Normalen konvergiert, wenn der Skalenparameter gegen unendlich tendiert; Die Konvergenz der Chi-Quadrat-Verteilung zur Normalen ist ein Sonderfall dieses breiteren Konvergenzergebnisses.

— Ben - Monica wieder einsetzen
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Danke für die Antwort und positiv bewertet! Sie fragen sich nur, ob wir für die Grenze der -Verteilung etwas Ähnliches sagen könnten wieHier ist die -Verteilung die Quadratwurzel der -Verteilung.

χ (p)

$\chi(p)$

p \to \infty ?

$p \to \infty?$

χ (p)

$\chi(p)$

χ^{2} (p)

$\chi^2(p)$

— Mathmath

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Eine standardisierte Chi-Zufallsvariable konvergiert auch in der Verteilung zur Normalen, sodass das erhaltene Grenzergebnis ähnlich ist, wobei jedoch der Mittelwert und die Varianz der Chi-Verteilung bzw. ersetzen .

p

$p$

2 p

$2p$

— Ben - Monica

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$\lim_{p \rightarrow \infty} \frac{\chi^2_p - p\mu}{p\sigma} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)$

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution#Relation_to_other_distributions

— Sucher
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Diese Antwort wurde von einem Benutzer markiert, da sie die Schlussfolgerung erneut bestätigt, jedoch nicht die angeforderte Erklärung bietet.

— whuber