Kann mir jemand die Parameter einer logarithmischen Normalverteilung erklären?

Ich lese etwas und dies ist die Definition, die ich aus DeGroots Buch erhalten habe:

Bedeutet das, dass die Parameter gleich sind? Angenommen, X ist logarithmisch normal verteilt und Y ist normalverteilt, wobei Y = log (X) ist. Bedeutet dies, dass X und Y den gleichen Mittelwert und die gleichen SDs haben, obwohl sie unterschiedlich geformte Verteilungen sind? Wenn nicht, auf welche Verteilung beziehen sich μ und σ?

Mit anderen Worten, wenn jemand sagt, dass X logarithmisch mit dem Mittelwert μ und SD σ verteilt ist, muss ich dann eine Konvertierung durchführen, damit der Mittelwert und die SD normal sind?

normal-distribution lognormal

— verwirrt
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Verwechseln Sie die Parameter einer Verteilungsfamilie nicht mit Momenten. Obwohl die Lognormalverteilungen parametrisiert, sind sie nicht ihre Mittelwerte oder Standardabweichungen.

μ, σ

$\mu,\sigma$

— whuber

Sie haben die gleichen Parameter, aber nicht den gleichen Mittelwert oder die gleiche Standardabweichung. Die beiden Parameter und die der Mittelwert und die Standardabweichung von sind nicht der Mittelwert und die Standardabweichung von Der Mittelwert und die Standardabweichung von sind jedoch Funktionen von und

μ

$\mu$

σ,

$\sigma,$

\log X,

$\log X,$

X .

$X.$

X

$X$

μ

$\mu$

σ .

$\sigma. \qquad$

— Michael Hardy

Antworten:

Angenommen, X ist logarithmisch normal verteilt und Y ist normalverteilt, wobei Y = log (X)

Hier sind Sie verwirrt. Sie machen keine Annahmen über zwei Verteilungen, von denen eine zufällig das Protokoll der anderen ist.

Stattdessen beginnen Sie mit einer Verteilung . Dann betrachten Sie . Wenn , dann sagen wir, dass die ursprüngliche Verteilung mit den Parametern und logarithmisch normal ist . $X$ $\log X$ $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $X$ $\mu$ $\sigma^2$

(Und dann ist der Mittelwert von zum Beispiel , daher sind die Parameter sicherlich nicht dieselben. Deshalb ist es auch besser, dies zu tun sprechen Sie eher von den "Parametern" eines logarithmischen Normalwerts als von "Mittelwert und SD" - weil es sehr leicht zu verwechseln ist, ob sich diese auf den tatsächlichen Mittelwert oder den logarithmischen Mittelwert beziehen, wie dies auch für SD der Fall ist.) $X$ $\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$

— Stephan Kolassa
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Ok, danke für die Klarstellung. Wenn also Personen Parameter wie μ und σ angeben, bezieht sich dies im Allgemeinen auf die Verteilung von Y oder log (X). Um den Mittelwert der logarithmischen Normalverteilung zu erhalten, ist eine Umrechnung erforderlich.

— verwirrt

Gute Antwort! Ich war nur ein paar Sekunden zu spät dran, meine zu veröffentlichen. 😃

— Isabella Ghement

Die Parameter sind jedoch dieselben. Dann sind Mittelwert und Standardabweichung und viele andere Dinge gleich, aber diese beiden Parameter sind gleich.

— Michael Hardy

@ MichaelHardy: Ja, die Parameter sind per Definition gleich. Ich zucke jedes Mal ein bisschen zusammen, wenn jemand den "mittleren Parameter des lognormalen" nennt , weil es nur der logarithmische Mittelwert ist und es so leicht ist, sie zu verwirren.

μ

$\mu$

— Stephan Kolassa

Wikipedia hat einen schönen Artikel über logarithmische Normalverteilungen: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution . Der Artikel zeigt, dass das logarithmisch normalverteilte X und das normalverteilte Log (X) unterschiedliche Mittelwerte und Standardabweichungen aufweisen.

Wenn X einer logarithmischen Normalverteilung mit den Parametern und folgt , repräsentieren und den Mittelwert und die Standardabweichung der Verteilung von log (X), was normal ist. Mit anderen Worten sind der Mittelwert und die Standardabweichung des normalverteilten Protokolls (X): $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$

Mittelwert von $\log(X)=\mu$

SD von $\log(X) = \sigma$

Der Mittelwert und die Standardabweichung des logarithmisch normalverteilten X sind wie folgt:

Mittelwert von X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD von X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$

— Isabella Ghement
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Isabella Ghements Antwort ist gut. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass SD von X in dieser Antwort einen Tippfehler hat. exp [𝜎 ^ 2−1] sollte sein (exp [𝜎 ^ 2] −1). Ich habe eine Monte-Carlo-Stichprobe durchgeführt, um den Mittelwert und die SD einer logarithmischen Normalverteilung zu überprüfen, und meine SD stimmte nicht mit dem obigen Ausdruck überein. Verifizierte die verlinkte Wiki-Seite und notierte den Tippfehler. PS: Eigentlich wollte ich der Antwort von @Isabella Ghement einen Kommentar hinzufügen, habe aber nicht die erforderlichen Anmeldeinformationen, um dies zu tun. Fügen Sie stattdessen eine neue Antwort hinzu.

— Ajay A