Begrenzung der Verteilung von

Sei $(X_n)$ eine Folge von iid $\mathcal N(0,1)$ Zufallsvariablen. Definiere $S_0=0$ und $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ für $n\geq 1$ . Finden Sie die Grenzverteilung von

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Dieses Problem stammt aus einem Problembuch zur Wahrscheinlichkeitstheorie im Kapitel über den zentralen Grenzwertsatz.

Da $S_{k-1}$ und $X_k$ unabhängig sind, ist $E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$ und

Beachten Sie, dass die $|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$ sind eindeutig nicht unabhängig. Das Problem stammt aus Shiryaevs Wahrscheinlichkeitsproblemen , die selbst auf dem Lehrbuch desselben Autors basieren. Das Lehrbuch scheint die CLT für korrelierte Variablen nicht abzudecken. Ich weiß nicht, ob sich irgendwo eine stationäre Mischsequenz versteckt ...

Ich habe Simulationen durchgeführt, um ein Gefühl für die Antwort zu bekommen

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

Unten sehen Sie ein Histogramm von $2000$ Proben ( $n=20.000$ ). Es sieht ziemlich normal verteilt aus ...

Wenn ich die Verteilung simuliere, erhalte ich etwas, das einer Laplace-Verteilung ähnelt. Noch besser scheint ein q-Gausian zu sein (die genauen Parameter, die Sie mithilfe der Theorie finden müssten).

Ich denke, dass Ihr Buch eine Variation der CLT enthalten muss, die sich darauf bezieht (q-verallgemeinerter zentraler Grenzwertsatz, wahrscheinlich in Abschnitt 7.6 Der zentrale Grenzwertsatz für Summen abhängiger Variablen , aber ich kann ihn nicht so nachschlagen wie ich habe das Buch nicht zur Verfügung).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)