Erreichbare Korrelationen für logarithmische Zufallsvariablen

Betrachten Sie die logarithmischen Zufallsvariablen und mit und .$X_1$$X_2$$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Ich versuche, und \ rho _ {\ min} für \ rho (X_1, X_2) zu berechnen . Ein Schritt in der gegebenen Lösung, die ich habe, ist:$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ und $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

aber sie haben einige Hinweise auf Komonotonie und Gegenkomonotonie gemacht. Ich hatte gehofft, jemand würde mir helfen zu verstehen, wie wichtig sie sind. (Ich weiß, wie man dies aus dem allgemeinen Ausdruck erhält, möchte aber genau wissen, was die Komonotonie-Teile sagten.)

Ich beginne mit der Definition von Komonotonie und Gegenmonotonie . Dann werde ich erwähnen, warum dies relevant ist, um den minimal und maximal möglichen Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Zufallsvariablen zu berechnen. Und schließlich berechne ich diese Grenzen für die logarithmischen Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ .

Komonotonizität und Gegenmonotonizität
Die Zufallsvariablen gelten als komonoton, wenn ihre Copula die Fréchet-Obergrenze , die die stärkste ist Art der "positiven" Abhängigkeit. Es kann gezeigt werden, dass genau dann sind, wenn wobei eine Zufallsvariable ist, sind zunehmende Funktionen und M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$Z h 1 , … , h d d

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$bezeichnet Gleichheit in der Verteilung. Comonotone Zufallsvariablen sind also nur Funktionen einer einzelnen Zufallsvariablen.

Die Zufallsvariablen gelten als gegenmonoton, wenn ihre Copula die Fréchet - Untergrenze , die die stärkste Art der "negativen" Abhängigkeit in der ist bivariater Fall. Die Gegenmonotonizität verallgemeinert sich nicht auf höhere Dimensionen. Es kann gezeigt werden, dass genau dann sind, wenn wobei eine Zufallsvariable ist, und und sind jeweils eine zunehmende und eine abnehmende Funktion oder umgekehrt. W ( u 1 , u 2 ) = max ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Erreichbare Korrelation
Sei und zwei Zufallsvariablen mit streng positiven und endlichen Varianzen und bezeichnen und den minimal und maximal möglichen Korrelationskoeffizienten zwischen und . Dann kann gezeigt werden, dassX 2 ρ min ρ max X 1 X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ genau dann, wenn und sind;X $X_1$$X_2$
• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ genau dann, wenn und comonoton sind.X $X_1$$X_2$

Erreichbare Korrelation für logarithmische Zufallsvariablen
Um wir die Tatsache, dass die maximale Korrelation nur dann erreicht wird, wenn und comonoton sind. Die Zufallsvariablen und wobei comonoton sind, da die Exponentialfunktion eine (streng) ansteigende Funktion ist und somit .$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Unter Verwendung der Eigenschaften lognormaler Zufallsvariablen ergibt sich , , , und die Kovarianz ist Also ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Ähnliche Berechnungen mit ergeben $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Kommentar
Dieses Beispiel zeigt, dass es möglich ist, ein Paar von Zufallsvariablen zu haben, die stark abhängig sind - Komonotonie und Gegenmonotonie sind die stärkste Art der Abhängigkeit -, die jedoch eine sehr geringe Korrelation aufweisen. Die folgende Tabelle zeigt diese Grenzen als Funktion von .$\sigma$

Dies ist der R-Code, mit dem ich die obige Tabelle erstellt habe.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)