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Ich bin verwirrt. Ich verstehe den Unterschied zwischen einem ARMA- und einem GARCH-Prozess nicht. Für mich gibt es das gleiche Nein?

Hier ist der (G) ARCH (p, q) -Prozess

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

Und hier ist die ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Ist die ARMA lediglich eine Erweiterung der GARCH, wobei GARCH nur für Rückgaben verwendet wird und mit der Annahme $r = \sigma\varepsilon$ wobei $\varepsilon$ einem starken folgt?

arima garch finance

— John
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Zusätzlich zu der Antwort von fg nu variiert der Varianzprozess in GARCH zeitlich. Allerdings gibt es hier einen Trick: Wenn eine Zeitreihe von SP500-Logarithmen zurückgegeben wird, was müssen wir dann tun, um den Volatilitätsprozess zu erhalten? Einige Leute sagen, dass wir das ARMA-Modell verwenden müssen, um die Residuenserien zu extrahieren, und diese Residuenserien dann in das GARCH-Modell stecken müssen, um den bedingten Varianzprozess zu erhalten? Oder schließen Sie direkt den Protokollrückgabeprozess von SP500 an das GARCH-Modell an, um die bedingte Varianz zu ermitteln.

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Sie verbinden die Merkmale eines Prozesses mit seiner Darstellung. Betrachten Sie den (Rück-) Prozess . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Ein ARMA (p, q) -Modell gibt das bedingte Mittel des Prozesses als an

Hierist die Informationsmenge zum Zeitpunkt, die die ist-Algebra durch die verzögerten Werte erzeugt des Ergebnisprozesses.

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Das GARCH (r, s) -Modell gibt die bedingte Varianz des Prozesses an $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Man beachte insbesondere die erste Äquivalenz . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Abgesehen : Auf der Grundlage dieser Darstellung können Sie schreiben wobei ein starkes weißes Rauschen Prozess, aber dies ergibt sich aus der Art und Weise der Prozess definiert ist.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Die beiden Modelle (für den bedingten Mittelwert und die Varianz) sind insofern perfekt miteinander kompatibel, als der Mittelwert des Prozesses als ARMA und die Varianzen als GARCH modelliert werden können. Dies führt zur vollständigen Spezifikation eines ARMA (p, q) -GARCH (r, s) -Modells für den Prozess wie in der folgenden Darstellung $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
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t - 1

$t-1$

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

Nett! Wissen Sie, warum wir die Sigma-Algebra und nicht eine Filtration verwenden?

— Jase

1

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

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Edit: Ich habe gemerkt, dass die Antwort fehlte und habe daher eine genauere Antwort geliefert (siehe unten - oder vielleicht oben). Ich habe diese wegen sachlicher Fehler überarbeitet und lasse sie für die Aufzeichnung.

Unterschiedliche Fokusparameter:

ARMA ist ein Modell für die Realisierung eines stochastischen Prozesses, der eine bestimmte Struktur des bedingten Mittels des Prozesses auferlegt .
GARCH ist ein Modell für die Realisierung eines stochastischen Prozesses, das eine bestimmte Struktur der bedingten Varianz des Prozesses auferlegt .

~~Stochastisches versus deterministisches Modell:~~

ARMA ist ein stochastisches Modell in dem Sinne, dass die abhängige Variable - die Realisierungen des stochastischen Prozesses - als Summe einer deterministischen Funktion aus verzögerter abhängiger Variable und verzögertem Modellfehler (dem bedingten Mittelwert) und einem stochastischen Fehlerterm angegeben wird.
~~GARCH ist ein deterministisches Modell in dem Sinne, dass die abhängige Variable - die bedingte Varianz des Prozesses - eine rein deterministische Funktion verzögerter Variablen ist.~~

— Richard Hardy
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r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

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@mpiktas, stimmt. Wenn das GARCH-Modell zwei Gleichungen enthält, eine für den bedingten Mittelwert (ein Beispiel, für das Sie oben geschrieben haben) und die andere für die bedingte Varianz (die intuitiv, wenn auch nicht mathematisch, "die Hauptgleichung" des Modells ist), gilt mein Argument nur zu der letzteren Gleichung.

— Richard Hardy

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ARMA

$y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

$D$

$\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Wir können die bedingte Verteilung von in Bezug auf seine vergangenen bedingten (anstatt vergangener realisierter Werte) und Modellparameter als schreiben $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Die letztere Darstellung erleichtert den Vergleich von ARMA mit GARCH und ARMA-GARCH.

GARCH

Man betrachte , das einem GARCH ( ) -Prozess folgt . Nehmen wir zur Vereinfachung an, es hat einen konstanten Mittelwert. Dann $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

Dabei ist und eine gewisse Dichte. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

Die bedingte Varianz folgt einem ähnlichen Prozess wie ARMA ( ), jedoch ohne den zufälligen Ausdruck des zeitgleichen Fehlers. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Man betrachte mit dem unbedingten Mittelwert Null und folgt einem ARMA ( ) -GARCH ( ) -Prozess. Dann $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

wo ; ist eine gewisse Dichte, zB Normal; für ; und für . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Der bedingte Mittelwertprozess aufgrund von ARMA hat im Wesentlichen die gleiche Form wie der bedingte Varianzprozess aufgrund von GARCH, nur die Verzögerungsreihenfolgen können abweichen (unter eines bedingungslosen Mittelwerts ungleich Null von sollte sich dieses Ergebnis nicht wesentlich ändern). Es ist wichtig, dass keine der beiden Zufallsfehlerterme einmal auf konditioniert ist , so dass beide vorbestimmt sind. $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
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Die ARMA- und GARCH-Prozesse sind in ihrer Darstellung sehr ähnlich. Die Trennlinie zwischen den beiden ist sehr dünn, da wir GARCH erhalten, wenn ein ARMA-Prozess für die Fehlervarianz angenommen wird.

— user36853
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Was ist der Unterschied zwischen GARCH und ARMA?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH