Ist der Absolutwert einer stationären Reihe auch stationär?

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Ich weiß, dass lineare Transformationen von Zeitreihen, die sich aus (schwach) stationären Prozessen ergeben, ebenfalls stationär sind. Gilt dies jedoch für eine Transformation einer Reihe, indem auch der Absolutwert jedes Elements verwendet wird? Mit anderen Worten, wenn $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ stationär ist, dann ist $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$ stationär?

time-series data-transformation stationarity

— Arthur Campello
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Nur ein Hinweis zur Terminologie: Stationär bedeutet für mich, dass alle endlichdimensionalen Verteilungen verschiebungsinvariant sind. Mit dieser Definition lautet die Antwort offensichtlich "Ja". Wenn Sie meinen, dass nur der Mittelwert und die Kovarianz endlicher Verteilungen verschiebungsinvariant sind (was ich als "schwach stationär" bezeichnet hätte), dann lautet die Antwort offensichtlich nein, wie die Antwort von @Yves zeigt. Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass | X | wird durch X und X ^ 2 gesteuert. Wenn Sie mit "schwach stationär" meinen, dass nur der Mittelwert unveränderlich ist, wie FransRodenburg, sollten Sie Ihre Terminologie ändern.

— Bananach

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In einem bestimmten Fall ist dies etwas wahr:

Wenn Ihre Zeitreihe stationär ist und einen normalverteilten Fehler aufweist, folgen die absoluten Werte Ihrer ursprünglichen Zeitreihe einer stationären gefalteten Normalverteilung. Da selbst eine schwache Stationarität bedeutet, dass sowohl der Mittelwert als auch die Varianz über die Zeit konstant sind, sind auch die absoluten Werte stationär. Für andere Verteilungen bedeutet dies, dass die Absolutwerte der ursprünglichen Zeitreihen zumindest schwach stationär sind, da eine konstante Varianz der ursprünglichen Werte zu einem konstanten Mittelwert der neuen Werte führt.

Wenn Ihre ursprüngliche Zeitreihe jedoch nur einen konstanten Mittelwert hat, kann sich die Varianz im Laufe der Zeit ändern, was sich auf den Mittelwert der absoluten Werte auswirkt . Daher sind die absoluten Werte selbst nicht (schwach) stationär.

Eine allgemeinere Antwort würde eine Untersuchung der Momenterzeugungsfunktion des Absolutwerts einer Zufallsvariablen erfordern. Vielleicht kann jemand mit mehr mathematischem Hintergrund darauf antworten.

— Frans Rodenburg
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In einer schwach stationären Zeitreihe kann sich die Varianz nicht über die Zeit ändern. es ist eine Konstante. Stellen Sie daher bitte klar, ob es sich um die Varianz der ursprünglichen Zeitreihe oder um die Varianz der Absolutwerte handelt, die Sie in diesem Satz diskutieren.

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate Du hast recht, ich habe die Terminologie verwirrt und meine Antwort entsprechend bearbeitet.

— Frans Rodenburg

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$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $X_n$ $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ $\frac 14$ $E[X_n] = 0$

\begin{aligned} E [X_{m} X_{m + n}] & = \frac{1}{4} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n) \\ = + (- \cos (m)) (- \cos (m + n)) + (- \sin (m)) (- \sin (m + n))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n)] \\ = \frac{1}{2} \cos (n) \end{aligned}

$\begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~~~~~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align}$

X_{0}

$X_0$

X_{n}

$X_n$

n \neq 0

$n\neq 0$

X_{n}

$X_n$

X_{m}

$X_m$

$\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ $n$

$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$

— Dilip Sarwate
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$X_i$ $\mathbb{E}[|X|]$ $\mathbb{E}[|X_i|]$ $i$

$\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[X^2]$ $\mathbb{E}[|X|]$ $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$

— Yves
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Sie haben E | X | eher als E [| X |].

— Akkumulation

Ich sehe nicht, wie Sie garantieren können, dass die Autokovarianz konstant ist.

— Akkumulation

Ja, es kann klarer sein, die zweite Notation zu verwenden, obwohl beide gültig sind.

— Yves

X_{i}

$X_i$

| X_{i} |

$|X_i|$

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Wie mehrere andere gezeigt haben, bleibt eine schwache Stationarität nicht unbedingt bestehen, wenn Sie den absoluten Wert der Zeitreihen nehmen. Der Grund dafür ist, dass die Verwendung des Absolutwerts jedes Elements der Zeitreihe den Mittelwert und die Varianz aufgrund von Unterschieden in den zugrunde liegenden Verteilungen der Werte auf ungleichmäßige Weise ändern kann. Obwohl schwache Stationarität nicht auf diese Weise überträgt über, ist es nichts wert , dass starke Stationarität nicht unter dem Absolutwert Transformation bleiben.

— Ben - Monica wieder einsetzen
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