Rechtsgerichtete Verteilung mit Mittelwert gleich Modus?

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Ist es möglich, eine rechtwinklige Verteilung mit einem Mittelwert gleich dem Modus zu haben? Wenn ja, können Sie mir ein Beispiel geben?

— Don Tawanpitak
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Nehmen Sie eine geeignete Mischung aus einer endlichen mittleren Schrägverteilung und einer endlichen mittleren unimodalen symmetrischen Verteilung mit demselben Mittelwert. Alle kontinuierlichen Beispiele und alle diskreten Beispiele entstehen auf diese Weise.

— whuber

@whuber, das ist eine tolle Idee. Wenn Sie Zeit haben, wäre es großartig, wenn Sie eine etwas detailliertere Antwort darauf geben würden.

— Beta1_equals_beta2

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Einfache Beispiele stammen aus Binomialverteilungen - die kaum als pathologische oder bizarre Ad-hoc -Gegenbeispiele abgetan werden können . Hier ist eine für 10 Versuche und Erfolgswahrscheinlichkeit 0.1. Dann ist der Mittelwert 10 $\times$ 0,1 = 1 und 1 ist auch der Modus (und für einen Bonus auch der Median), aber die Verteilung ist offensichtlich richtig verzerrt.

Der Code, der die Anzahl der Erfolge 0 bis 10 und ihre Wahrscheinlichkeiten 0,348678 usw. angibt, ist Mata-Code von Stata, aber Ihre bevorzugte statistische Plattform sollte dazu in der Lage sein. (Wenn nicht, brauchen Sie einen neuen Favoriten.)

: (0::10), binomialp(10, (0::10), 0.1)
                  1             2
     +-----------------------------+
   1 |            0   .3486784401  |
   2 |            1    .387420489  |
   3 |            2   .1937102445  |
   4 |            3    .057395628  |
   5 |            4    .011160261  |
   6 |            5   .0014880348  |
   7 |            6    .000137781  |
   8 |            7   8.74800e-06  |
   9 |            8   3.64500e-07  |
  10 |            9   9.00000e-09  |
  11 |           10   1.00000e-10  |
     +-----------------------------+

Unter kontinuierlichen Verteilungen kann die Weibull-Verteilung den gleichen Mittelwert und Modus aufweisen, jedoch rechtwinklig sein.

— Nick Cox
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Vielen Dank! Das ist absolut hilfreich! Ich werde auch die von Ihnen erwähnte Weibull-Verteilung untersuchen.

— Don Tawanpitak

Kennen Sie übrigens eine andere kontinuierliche Verteilung mit endlicher Unterstützung, die dieselbe Eigenschaft aufweisen kann?

— Don Tawanpitak

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@DonTawanpitak Eine schnelle numerische Suche nach dem Weibull ergab nur eine Lösung:

α = 3.3125, β = 1

$\alpha = 3.3125, \beta = 1$ wo

α

$\alpha$ ist die Form und

β

$\beta$ ist die Skala. Der Modus und der Mittelwert sind dann

0.897186

$0.897186$ . Aber dieser Weibull ist nicht besonders recht schief (seine Schiefe ist

0.074

$0.074$ ).

— COOLSerdash

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Wenn die Verteilung diskret ist, sicher. Es ist einfach. Zum Beispiel eine Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

$P(X=0) = 0.36$
$P(X=1) = 0.40$
$P(X=2) = 0.13$
$P(X=3) = 0.10$
$P(X=4) = 0.01$

ist richtig (dh positiv) verzerrt und hat sowohl einen Mittelwert als auch einen Modus von 1.

— beta1_equals_beta2
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Bedeutet dies, dass diskrete Verteilungen im Gegensatz zu kontinuierlichen Verteilungen diese Eigenschaft eher aufweisen? Dafür scheint es ein starkes Argument zu geben.

— Thomas Cleberg

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Nein, das schlage ich nicht vor. Ich sage nur, dass es einfach ist, ein Beispiel (das alles ist, was das OP verlangt) für eine diskrete Verteilung mit dieser Eigenschaft zu finden.

— Beta1_equals_beta2