Logistische Funktion mit Steigung, aber ohne Asymptoten?

Die logistische Funktion hat einen Ausgabebereich von 0 bis 1 und die asymptotische Steigung ist auf beiden Seiten Null.

Was ist eine Alternative zu einer Logistikfunktion, die an ihren Enden nicht vollständig abgeflacht ist? Wessen asymptotische Steigungen nähern sich Null, aber nicht Null, und die Reichweite ist unendlich?

sigmoid-curve

— Aksakal
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Der Titel scheint nicht mit der Art und Weise übereinzustimmen, wie ich Ihre Frage gelesen habe - ist diese neue Funktion erforderlich, um Asymptoten zu haben oder nicht?

— 20.

Grundsätzlich möchte ich eine Funktion, die wie Sigmoid aussieht, aber eine Steigung hat

— Aksakal

Richtig, eine Sigmoid-ähnliche Form, die nicht vollständig abgeflacht ist, z. B. die Protokollfunktion, die nicht vollständig abgeflacht ist

— Aksakal

sign (x) \log (1 + | x |)

$\operatorname{sign}(x)\log(1 + |x|)$ ?

— Steveo'america

Zu Beginn des genannten Jahrzehnts will es seine neuronalen Netzwerkaktivierungsfunktionen zurück. (Sorry, schlechter Witz, aber realistisch gesehen sind die Leute aus diesem Grund zu ReLUs gezogen) (+1, relevante Frage)

— usεr11852

Antworten:

Sie können einer logistischen Funktion einfach einen Begriff hinzufügen :

f (x; a, b, c, d, e) = \frac{a}{1 + b \exp (- c x)} + d x + e

$f(x; a, b, c, d, e)=\frac{a}{1+b\exp(-cx)} + dx + e$

Die Asymptoten haben Steigungen . $d$

Hier ist ein Beispiel mit : $a=10, b = 1, c = 2, d = \frac{1}{20}, e = -5$

— COOLSerdash
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Ich denke, diese Antwort ist die beste, denn wenn Sie weit genug herauszoomen, ist es nur eine gerade Linie mit einem kleinen Wackeln in der Mitte. Gibt das intuitivste Verhalten bei großem x, behält jedoch die Sigmoidform bei.

— user1717828

Dies schien für meinen Datensatz zu funktionieren, und ich habe ihn ausgewählt, aber die Lösung ist nicht ideal, da die asymptotische Steigung nicht abnimmt

— Aksakal

Anfangs dachte ich Sie tat die horizontalen Asymptoten bei wollen noch; Ich habe meine ursprüngliche Antwort auf das Ende verschoben. Wenn Sie stattdessen möchten, würde dann so etwas wie der inverse hyperbolische Sinus funktionieren? $0$ $\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = \pm\infty$

asinh (x) = \log (x + \sqrt{1 + x^{2}})

$\text{asinh}(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

Dies ist unbegrenzt, wächst aber wie für großesund sieht aus wie $\log$ $|x|$

Ich mag diese Funktion sehr als Datentransformation, wenn ich schwere Schwänze habe, aber möglicherweise Nullen oder negative Werte.

Eine weitere nette Sache an dieser Funktion ist, dass eine schöne einfache Ableitung hat. $\text{asinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Ursprüngliche Antwort

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$ Sei unsere Funktion und wir nehmen an, dass $f : \mathbb R\to\mathbb R$

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0.

$\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = 0.$

Angenommen, ist stetig. Fix . Aus den Asymptoten ergibt sich und analog gibt es ein so dass . Daher liegt außerhalb von innerhalb . Und ist ein kompaktes Intervall, so dass durch die Kontinuität begrenzt ist. $f$ $\e > 0$

\exists x_{1} : x < x_{1} ⟹ | f (x) | < ε

$\exists x_1 : x < x_1 \implies |f(x)| < \e$

x_{2}

$x_2$

x > x_{2} ⟹ | f (x) | < ε

$x > x_2 \implies |f(x)| < \e$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

(- ε, ε)

$(-\e, \e)$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

Dies bedeutet, dass eine solche Funktion nicht kontinuierlich sein kann. Würde so etwas wie funktionieren?

f (x) = {\begin{cases} x^{- 1} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} x^{-1} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$

— jld
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Die "verwandten" Threads enthalten diese unbeantwortete Frage, falls sich jemand anderes die natürliche Folge gefragt hat: "Was passiert, wenn Sie asinh in einem neuronalen Netzwerk verwenden?" stats.stackexchange.com/questions/359245/…

— Sycorax sagt Reinstate Monica

Meine Ohren spitzten sich tatsächlich. Ich habe asinh () in der Vergangenheit als nützlich empfunden, wenn Sie sowohl positive als auch negative Zahlen protokollieren möchten. Es geht auch um das Dilemma, in das Sie geraten können, wo Sie eine Protokolltransformation für Daten mit Nullen durchführen und einen geeigneten Wert von für

a

$a$

l o g (x + a)

$log(x + a)$

— beurteilen müssen

Wie können Sie diese Funktion parametrisieren, um ihre Form zu ändern? insbesondere, um die Steigung am Wendepunkt zu regulieren

— Aksakal

@Aksakal Wenn dann würde nur die Form und Asymptotik gleich halten und die Ableitung ist also die Steigung bei Null ist nur

a > 0

$a > 0$

a \cdot asinh

$a\cdot\text{asinh}$

\frac{a}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{1+x^2}}$

a

$a$

— jld

@Aksakal allgemeiner könnten wir das Antiderivativ von das und ermöglicht mehr Möglichkeit, die Form zu ändern, oder einfach so etwas wie

\frac{a}{\sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{c^2 + (bx)^2}}$

\frac{a}{b} \log (b (b x + \sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}))

$\frac ab \log\left(b\left(bx + \sqrt{c^2 + (bx)^2}\right)\right)$

a \cdot asinh (b x)

$a\cdot\text{asinh}(bx)$

— jld

Ich werde weitermachen und den Kommentar in eine Antwort verwandeln. Ich schlage vor, dessen Steigung gegen Null tendiert, aber unbegrenzt ist.

f (x) = sign (x) \log (1 + | x |),

$f(x) = \operatorname{sign}(x)\log{\left(1 + |x|\right)},$

Bearbeiten auf vielfachen Wunsch eine Handlung für : $|x|\le 30$

— steveo'america
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