Beziehung zwischen Unabhängigkeit und Korrelation einheitlicher Zufallsvariablen

Meine Frage ist ziemlich einfach: Sei und zwei unkorrelierte einheitliche Zufallsvariablen auf . Sind sie unabhängig?$X$$Y$$[-1,1]$

Ich hatte den Eindruck, dass zwei zufällige, nicht korrelierte Variablen nur dann unbedingt unabhängig sind, wenn ihre gemeinsame Verteilung normal ist. Ich kann jedoch kein Gegenbeispiel finden, um die Behauptung, nach der ich frage, zu widerlegen. Bitte geben Sie entweder ein Gegenbeispiel oder einen Beweis an.

Unabhängig impliziert unkorreliert, aber die Implikation geht nicht in die andere Richtung.

Unkorreliert bedeutet Unabhängigkeit nur unter bestimmten Bedingungen. Wenn Sie beispielsweise eine bivariate Normalität haben , bedeutet dies, dass unkorreliert unabhängig ist (wie Sie sagten).

Es ist einfach, bivariate Verteilungen mit einheitlichen Rändern zu erstellen, bei denen die Variablen nicht korreliert, aber nicht unabhängig sind. Hier einige Beispiele:

1. Betrachten Sie eine zusätzliche Zufallsvariable die die Werte mit der Wahrscheinlichkeit unabhängig von annimmt . Dann sei .$B$$\pm 1$$\frac12$$X$$Y=BX$

2. Nehmen Sie die bivariate Verteilung von zwei unabhängigen Uniformen und schneiden Sie sie in 4 gleich große Abschnitte an jedem Rand (was Stück ergibt , jedes mit der Größe ). Nehmen Sie nun die gesamte Wahrscheinlichkeit aus den 4 Eckstücken und den 4 Mittelstücken und legen Sie sie gleichmäßig in die anderen 8 Teile.$4\times 4=16$$\frac12\times\frac12$

3. Sei .$Y = 2|X|-1$

In jedem Fall sind die Variablen nicht korreliert, aber nicht unabhängig (z. B. wenn , was ist ?)$X=1$$P(-0.1<Y<0.1)\,$

Wenn Sie eine bestimmte Familie von bivariaten Verteilungen mit einheitlichen Rändern angeben, ist es möglich, dass unter dieser Formulierung die einzige nicht korrelierte unabhängig ist. Dann würde es Unabhängigkeit bedeuten, unkorreliert zu sein.

Wenn Sie zum Beispiel Ihre Aufmerksamkeit darauf beschränken, die Gaußsche Kopula zu sagen, dann hat die einzige unkorrelierte Kopula meiner Meinung nach unabhängige Ränder. Sie können dies leicht neu skalieren, sodass jeder Rand aktiviert ist (-1,1).

Einige R-Codes zum Abtasten und Zeichnen dieser Bivariaten (nicht unbedingt effizient):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(In dieser Formulierung gibt ein viertes Beispiel)$(Y_2, Y_3)$

[Übrigens erhalten Sie durch Transformation all dieser Werte in Normalität (dh Umwandlung von in usw.) Beispiele für nicht korrelierte normale Zufallsvariablen, die nicht unabhängig sind. Natürlich sind sie nicht gemeinsam normal.]$X$$\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$