Wann implizieren

Die Frage:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ und $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

Ich weiß, dass dies im Allgemeinen nicht gilt; Der Satz von Slutsky gilt nur, wenn eine oder beide Konvergenzen wahrscheinlich sind.

Gibt es jedoch Fälle, in denen dies der Fall ist ?

Zum Beispiel, wenn die Sequenzen $X_n$ und $Y_n$ unabhängig sind.

— Mai
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Antworten:

Bei der Formalisierung der @ Ben-Antwort ist Unabhängigkeit fast eine ausreichende Bedingung, da wir wissen, dass die charakteristische Funktion der Summe zweier unabhängiger Wohnmobile das Produkt ihrer marginalen charakteristischen Funktionen ist. Sei . Unter der Unabhängigkeit von und ,

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

Damit

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

und wir haben (da wir annehmen, dass und konvergieren) $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

Das ist die charakteristische Funktion von ... wenn unabhängig sind. Und sie sind unabhängig, wenn einer der beiden eine kontinuierliche Verteilungsfunktion hat ( siehe diesen Beitrag ). Dies ist die Bedingung, die zusätzlich zur Unabhängigkeit der Sequenzen erforderlich ist, damit die Unabhängigkeit an der Grenze erhalten bleibt. $X+Y$ $X+Y$

Ohne Unabhängigkeit hätten wir

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

und es kann keine allgemeine Aussage über die Grenze gemacht werden.

— Alecos Papadopoulos
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Tolle Antwort (+1). Ich denke, mit dieser Methode ist es auch erwähnenswert, dass die schwächere Annahme (asymptotische Unabhängigkeit) direkt zu Ihrem zweiten Schritt führt und Ihnen so auch das Ergebnis liefert . Dies zeigt, dass eine asymptotische Unabhängigkeit für die gewünschte Eigenschaft ausreichend ist.

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— Ben - Reinstate Monica

Der Cramer-Wold-Satz liefert eine notwendige und ausreichende Bedingung:

Sei eine Folge von bewerteten Zufallsvariablen. Dann $\{z_n\}$ $R^K$

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Als Beispiel sei und definiere sowie . Wir haben dann trivial und aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung Allerdings konvergiert nicht in der Verteilung, da Dies ist eine Anwendung der Cramer-Wold-Gerät für . $U\sim N(0,1)$ $W_n:=U$ $V_n:=(-1)^nU$

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$

— Christoph Hanck
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Ja, Unabhängigkeit ist ausreichend: Die vorausgehenden Bedingungen betreffen die Konvergenz der Verteilung für die Randverteilungen von und . Der Grund, warum die Implikation im Allgemeinen nicht zutrifft, ist, dass die vorausgehenden Bedingungen nichts enthalten, was sich mit der statistischen Abhängigkeit zwischen den Elementen der beiden Sequenzen befasst. Wenn Sie die Unabhängigkeit der Sequenzen auferlegen würden, würde dies ausreichen, um eine Konvergenz bei der Verteilung der Summe sicherzustellen. $\{ X_n \}$ $\{ Y_n \}$

( Alecos hat unten eine ausgezeichnete Antwort hinzugefügt, die dieses Ergebnis unter Verwendung charakteristischer Funktionen beweist. Eine asymptotische Unabhängigkeit ist auch für diese Implikation ausreichend, da dieselbe einschränkende Zerlegung der charakteristischen Funktionen auftritt.)

— Ben - Monica wieder einsetzen
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Die Unabhängigkeit der Sequenzen ist möglicherweise nicht ausreichend. Sie könnten auch die Unabhängigkeit der Begrenzung müssen und . Wenn die Sequenzen unabhängig sind, aber Sie gekocht.

X

$X$

Y

$Y$

X = - Y

$X = -Y$

— Mann

Die Schlussfolgerung, dass das cdf von In @Alecos Antwort beruht auf der Tatsache, dass und unabhängig sind. Daher müssen und unabhängig sein, wenn der Konvergenzmodus . Angenommen, und sind iid , dann und , aber während .

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$

X + Y

$X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$

X + Y = 0

$X + Y = 0$

— Mann

@Alecos Wenn Sie zustimmen, dass sie zu einem konvergieren, stimmen Sie trivial zu, dass beide per Definition in der Verteilung zu konvergieren . Sie konvergieren auch beide in der Verteilung zu und zu allen anderen Zufallsvariablen. Die Konvergenz in der Verteilung ist nicht mit anderen Konvergenzmodi vergleichbar. Sie können in der Verteilung auf viele verschiedene Zufallsvariablen konvergieren. Die begrenzende Zufallsvariable muss nicht einmal im selben Wahrscheinlichkeitsraum definiert werden. Einzigartig ist nur die Randverteilung .

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{1}

$X_1$

- X_{1}

$-X_1$

N (0, 1)

$N(0,1)$

— Kerl

@Alecos anders ausgedrückt: Beachten Sie, dass die Verteilung von nicht einmal gut definiert ist, wenn Sie nur davon sprechen, dass die Sequenzen unabhängig sind. Sie können und ohne überhaupt eine Annahme über die Abhängigkeitsstruktur von und , selbst wenn Sie starke Annahmen über die Abhängigkeit von und treffen . Alles, was wir getan haben, ist, die Ränder von und .

X + Y

$X+Y$

X_{n} \to X

$X_n \to X$

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$

X

$X$

Y

$Y$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

X

$X$

Y

$Y$

— Mann

Oh; Ich denke ich verstehe. Sie sagen, dass ich eine zusätzliche Bedingung für die Unabhängigkeit von und benötige, damit meine ursprüngliche Aussage in der Frage zutrifft. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn ich richtig verstehe.

X

$X$

Y

$Y$

— Mai