Verteilung der Summe unabhängiger Exponentiale mit zufälliger Anzahl von Summanden

Lassen $\tau_i\sim\exp\left(\lambda\right)$ unabhängig und identisch verteilte Exponentiale mit Parameter sein $\lambda$. Dann für gegeben$n$, die Summe dieser Werte

$$T_n := \sum_{i=0}^n \tau_i$$ folgt einer Erlang-Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $$\pi(T_n=T| n,\lambda)={\lambda^n T^{n-1} e^{-\lambda T} \over (n-1)!}\quad\mbox{for }T, \lambda \geq 0.$$

Ich interessiere mich für die Verbreitung von $T_\tilde n$ wo $\tilde n$ ist eine Zufallsvariable, so dass für $\tau_a \sim \exp(\lambda_a)$ exponentiell verteilt hält es das

$$T_\tilde n \leq \tau_a \\T_{\tilde{n}+1} > \tau_a.$$

Mit anderen Worten, $T_{\tilde n}$wird durch eine Exponentialverteilung abgeschnitten. Ich kann die Verteilung von nicht ableiten$\tilde n$ aber vielleicht gibt es einen einfacheren Weg:

$$\pi\left(\tilde n = k\right) = \pi\left(T_n < \tau_a|n=k\right)\\ =1-\int\limits_{\mathbb{R}^+}\sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}\exp\left(-(\lambda+\lambda_a)\tau_a\right)(\tau\lambda_a)^n\lambda_ad\tau_a.$$

Nur Sampling und Eye-Balling sehen für mich so aus, als wäre diese Dichte nicht so hässlich:

iter <- 20000

lambda_a <- 1
lambda <- 2

df <- data.frame(tau=rep(NA, iter), a=rep(NA, iter))

for(i in 1:iter){
    set.seed(i)
    a <- rexp(1, rate = lambda_a)
    s <- cumsum(rexp(500, rate = lambda))

    df[i,] <- c(max(s[1], s[s<a]), a)
}

library(tidyverse)

ggplot(df %>% gather(), aes(x = value, fill = key)) +
geom_density(alpha = .3) + theme_bw()

Wie in dieser X-validierten Antwort beschrieben , warten Sie auf eine Summe von iid exponentiell$\mathcal E(\lambda)$ Variiert, um eins zu überschreiten, entsteht ein Poisson $\mathcal P(\lambda)$ variieren $N$. Warten Sie also auf eine Summe von iid Exponential$\mathcal E(\lambda)$ variiert zu überschreiten $\tau_a$ produziert einen Poisson $\mathcal P(\tau_a\lambda)$ variieren $N$, abhängig von $\tau_a$ (seit dem Teilen der Summe durch $\tau_a$ beträgt, um den Exponentialparameter mit zu multiplizieren $\tau_a$. Deshalb

$$\begin{align*} \mathbb P(N=n)&=\int_0^\infty \mathbb P(N=n|\tau_a) \,\lambda_a e^{-\lambda_a\tau_a}\,\text{d}\tau_a\\ &= \int_0^\infty \dfrac{(\lambda\tau_a)^n}{n!}\,e^{-\tau_a\lambda} \,\lambda_a e^{-\lambda_a\tau_a}\,\text{d}\tau_a\\ &=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{n!}\,\int_0^\infty \tau_a^n\,e^{-\tau_a(\lambda+\lambda_a)} \,\text{d}\tau_a\\ &=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{n!}\,\dfrac{\Gamma(n+1)}{(\lambda_a+\lambda)^{n+1}}=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{(\lambda_a+\lambda)^{n+1}} \end{align*}$$ Das ist eine geometrische $\mathcal G(\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\})$zufällige Variable. (Hier ist die geometrische Variable eine Reihe von Fehlern, was bedeutet, dass ihre Unterstützung bei Null beginnt.)

Jetzt überlegen $N$ als geometrische Anzahl von Versuchen, $N\ge 1$, Die Verteilung von

$$\zeta=\sum_{i=1}^N \tau_i$$ die Momenterzeugungsfunktion von $\zeta$ ist $$\mathbb E[e^{z\zeta}]=\mathbb E[e^{z\{\tau_1+\cdots+\tau_N\}}]=\mathbb E^N[\mathbb E^{\tau_1}[e^{z\tau_1}]^N]=E^N[\{\lambda/(\lambda-z)\}^N]=E^N[e^{N(\ln \lambda-\ln (\lambda-z))}]$$ und die mgf einer geometrischen $\mathcal G(p)$ variieren ist $$\varphi_N(z)=\dfrac{pe^z}{1-(1-p)e^z}$$ Daher die Momenterzeugungsfunktion von $\zeta$ ist $$\dfrac{pe^{\ln \lambda-\ln (\lambda-z)}}{1-(1-(\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}))e^{\ln \lambda-\ln (\lambda-z)}}=\dfrac{p \lambda}{ \lambda-z-\lambda^2/\{\lambda_a+\lambda\}}$$ wo $p=\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}$, was zur mfg führt $$\dfrac{\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}}{ \lambda-z-\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}^2}=\dfrac{1}{1-z(p\lambda)^{-1}}$$ bedeutet, dass $\zeta$ ist ein Exponential $\mathcal{E}(\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\})$ variieren.