Kovarianz einer Variablen und eine lineare Kombination anderer Variablen

Sei Zeitreihenvariablen und die Kovarianz zwischen zwei beliebigen Paaren davon ist bekannt.$X,A,B,C,D$

Angenommen, wir möchten , wobei Konstanten sind.$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$$a,b,c,d$

Gibt es eine Möglichkeit, dies zu tun, ohne ?$E[(X-E[X])(aA+......)]$

Gibt es eine Möglichkeit, dies zu tun, ohne ?$E[(X-E[X])(aA+......)]$

Ja. Es gibt eine Eigenschaft der Kovarianz, die als Bilinearität bezeichnet wird, nämlich die Kovarianz einer linearen Kombination

$${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$$

(wobei Konstanten sind und Zufallsvariablen sind) kann wie folgt zerlegt werden$a,b,c,d$$X,Y,W,Z$

$$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$$

In dem von Ihnen angegebenen Beispiel können Sie diese Eigenschaft verwenden, um als zu schreiben$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$

$$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$$