Gibt es andere Verteilungen als Cauchy, für die das arithmetische Mittel einer Stichprobe der gleichen Verteilung folgt?

Wenn $X$ einer Cauchy-Verteilung folgt, ist $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ folgt ebenfalls genau der gleichen Verteilung wie $X$ ; siehediesen Thread.

Hat diese Eigenschaft einen Namen?
Gibt es andere Distributionen, für die dies zutrifft?

BEARBEITEN

Eine andere Möglichkeit, diese Frage zu stellen:

sei $X$ eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)$ .

sei $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ , wobei $X_i$ die i-te Beobachtung von $X$ .

$Y$ selbst kann als Zufallsvariable betrachtet werden, ohne dass bestimmte Werte von bedingt sind $X$ .

Wenn $X$ eine Cauchy - Verteilung folgt, dann wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $Y$ ist $f(x)$

Gibt es andere Arten von (nicht trivialen *) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für , die dazu führen, dass eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$ ?

* Das einzige triviale Beispiel, an das ich denken kann, ist ein Dirac-Delta. dh keine Zufallsvariable.

— Chechy Levas
quelle

Ihr Titel macht wenig Sinn, da der "erwartete Wert einer Stichprobe" eine Zahl ist. Meinen Sie stattdessen das arithmetische Mittel der Stichprobe? Die Frage ist auch vage: Mit "Verteilung" meinen Sie eine bestimmte Verteilung oder - wie der Begriff "Cauchy" andeutet - eine Familie von Verteilungen? Das ist keine Kleinigkeit: Die Antwort ändert sich komplett, je nachdem, was Sie meinen. Bitte bearbeiten Sie Ihren Beitrag, um dies zu verdeutlichen.

— whuber

@whuber, ich habe der Frage einen zweiten Teil hinzugefügt, der hoffentlich den Bereich möglicher Interpretationen einschränkt.

— Chechy Levas

Vielen Dank; das klärt das meiste davon auf. Es gibt jedoch unterschiedliche Antworten, je nachdem, ob Sie

korrigieren oder ob dieses Ergebnis für alle

Wenn es das letztere ist, ist der Zustand auf dem cf oder cgf schwerwiegend und führt zu einer fertigen Lösung. Wenn es das erstere ist, gibt es möglicherweise zusätzliche Lösungen.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Ich habe für alle

gedacht, aber wenn jemand auch eine Analyse für ein festes

liefern möchte , wäre das willkommen.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

Dies ist keine wirkliche Antwort, aber es scheint zumindest nicht einfach zu sein, ein solches Beispiel aus einer stabilen Verteilung zu erstellen. Wir müssten ein rv erzeugen, dessen charakteristische Funktion der des Durchschnitts entspricht.

Im Allgemeinen wird für eine IID der Auslosung, cf des Durchschnitts ist

mit der cf eines einzelnen rv Fürstabile Verteilung mitPositionsparameter Null,wir habe wobei

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Verteilung entspricht die Cauchy zu

, so daß

in der Tat für jeden Skalenparameter

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

Im Allgemeinen

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
quelle

Ist es also fair zu sagen, dass Cauchy basierend auf Ihrer Analyse die einzige Lösung für a = 1 ist?

— Chechy Levas

Das ist mein Eindruck von diesen Ergebnissen, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es hier Leute gibt, die mehr über stabile Verteilungen wissen.

— Christoph Hanck

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

Should this be the accepted answer? Besides

α = 1

$\alpha = 1$ Ich kann nur sehen, wie ich das lösen kann

α = 0

$\alpha = 0$ , das (glaube ich) das Dirac-Delta ist.

— Chechy Levas