Eine unvoreingenommene Schätzung des Medians

Angenommen, wir haben eine Zufallsvariable $X$ die von $[0,1]$ aus der wir Stichproben ziehen können. Wie können wir eine unvoreingenommene Schätzung des Medians von $X$ erstellen?

Wir können natürlich einige Stichproben generieren und den Stichprobenmedian nehmen, aber ich verstehe, dass dies im Allgemeinen nicht unvoreingenommen sein wird.

Hinweis: Diese Frage ist mit meiner letzten Frage verwandt, aber nicht identisch. In diesem Fall konnte $X$ nur ungefähr abgetastet werden.

Einen solchen Schätzer gibt es nicht.

Die Intuition ist, dass der Median fest bleiben kann, während wir die Wahrscheinlichkeitsdichte auf beiden Seiten frei verschieben, sodass jeder Schätzer, dessen Durchschnittswert der Median für eine Verteilung ist, einen anderen Durchschnitt für die geänderte Verteilung hat, wodurch er verzerrt wird. Die folgende Darstellung verleiht dieser Intuition etwas mehr Genauigkeit.

Wir konzentrieren uns auf Verteilungen mit einzigartigen Mediane m , so dass per Definition F ( m ) ≥ 1 / 2 und F ( x ) < $F$$m$$F(m) \ge 1/2$ für alle x < m . Legen Sie eine Stichprobengröße n ≥ 1 fest und nehmen Sie an, dass t : [ 0 , 1 $F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$m schätzt. (Es wird ausreichen, dass$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$nur begrenzt sein, aber normalerweise werden Schätzer, die offensichtlich unmögliche Werte liefern, nicht ernsthaft in Betracht gezogen.) Wir machen keine Annahmen über ; es muss nicht einmal überall durchgehend sein.$t$

Die Bedeutung von als unverzerrt (für diese feste Stichprobengröße) ist die folgende$t$

für jede iid Probe mit . Ein „unverzerrter Schätzer“ t ist ein mit dieser Eigenschaft für alle solche F .$X_i \sim F$$t$$F$

Angenommen, ein unvoreingenommener Schätzer existiert. Wir werden einen Widerspruch herleiten, indem wir ihn auf eine besonders einfache Menge von Distributionen anwenden. Betrachten Sie Verteilungen mit folgenden Eigenschaften:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. ;$0 \le x \lt y \le 1$

2. ;$0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$

3. ; < m < y - & epsi ;;$x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$

4. ; ) / 2 ;$\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$

5. ; ≤ m + & epsi ; ) = & epsi ;; und$\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$

6. ist einheitlich auf$F$ .$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

Diese Verteilungen platzieren die Wahrscheinlichkeit bei jedem von x und y und einen winzigen Betrag der Wahrscheinlichkeit, der symmetrisch um m zwischen x und y liegt . Dies macht m zum einzigartigen Median von$(1-\varepsilon)/2$$x$$y$$m$$x$$y$$m$ . (Wenn Sie befürchten, dass dies keine kontinuierliche Verteilung ist, falten Sie sie mit einem sehr engen Gaußschen Wert zusammen und kürzen Sie das Ergebnis auf [ 0 , 1 ] : Das Argument ändert sich nicht.)$F$$[0,1]$

Für jeden vermuteten Medianschätzer zeigt eine einfache Schätzung, dass E [ t ( X 1 , X 2 , … , X n ) ] genau innerhalb von ε des Durchschnitts der 2 n- Werte t ( x $t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$ wobei x i über alle möglichen Kombinationen von x und y variiert. Wir können jedoch m variieren$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$zwischen epsi ; und y - & epsi ; eine Änderung von mindestens , m , ε , für die diese Erwartung nicht gleich dem Median QED ist.$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$ (aufgrund der Bedingungen 2 und 3). Es existiert also ein m und daher eine entsprechende Verteilung F x , $\varepsilon$$m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$

Es wäre schwierig, einen unvoreingenommenen Schätzer ohne ein parametrisches Modell zu finden! Sie können jedoch Bootstrapping verwenden und damit den empirischen Median korrigieren, um einen ungefähr unvoreingenommenen Schätzer zu erhalten.

$Y = \alpha + u$$\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$$\alpha$$\text{med}(u) = 0$ was wahr sein sollte, solange Sie unabhängige Draws haben. Was die Unparteilichkeit angeht, weiß ich es nicht. Mediane sind schwierig.