Unabhängigkeit der Statistik von der Gammaverteilung

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Sei eine Zufallsstichprobe aus der Gammaverteilung . $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Sei und der Stichprobenmittelwert bzw. die Stichprobenvarianz. $\bar{X}$ $S^2$

Dann beweisen oder widerlegen Sie, dass und unabhängig sind. $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

Mein Versuch: Da , müssen wir die Unabhängigkeit überprüfen und , aber wie soll ich die Unabhängigkeit zwischen ihnen herstellen? $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— Glockenkreis
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2

Betrachten wir die gemeinsame Laplace - Transformation der Summe und der Vektor Proportions . Dies ist ; Sie können zeigen, dass dies das Produkt einer Funktion von und einer Funktion von .

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$

W

$\mathbf{W}$

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

— Yves

@Yves Könntest du meine Antwort unten überprüfen?

— Glockenkreis

3

Es gibt eine nette, einfache, intuitiv offensichtliche Demonstration für Integral $\alpha.$ Es stützt sich nur auf bekannte Eigenschaften der Gleichverteilung, der Gammaverteilung, der Poisson-Prozesse und der Zufallsvariablen und sieht folgendermaßen aus:

Jedes ist die Wartezeit, bis Punkte eines Poisson-Prozesses auftreten. $X_i$ $\alpha$
Die Summe daher die Wartezeit, bis Punkte dieses Prozesses auftreten. Nennen wir diese Punkte $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
Unter der Bedingung von sind die ersten Punkte unabhängig voneinander gleichmäßig zwischen und $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
Daher sind die Verhältnisse unabhängig voneinander gleichmäßig zwischen und verteilt. Insbesondere hängen ihre Verteilungen nicht von $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
Folglich ist jede (messbare) Funktion des unabhängig von $Z_i/Y$ $Y.$
Zu solchen Funktionen gehören (wobei die Klammern die Ordnungsstatistik des ).
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

Beachten Sie an dieser Stelle einfach, dass explizit als (messbare) Funktion des und daher unabhängig von $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— whuber
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3

Sie möchten beweisen, dass der Mittelwert und der rv.s unabhängig sind oder äquivalent dazu, dass die Summe und die Verhältnisse sind unabhängig. Wir können ein etwas allgemeineres Ergebnis beweisen, indem wir annehmen, dass die möglicherweise unterschiedliche Formen , aber dieselbe Skala die als angenommen werden kann . $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ $\beta = 1$

Betrachten Sie die gemeinsame Laplace-Transformation von und dh Dies wird als dimensionales Integral über wobei die Konstante relativ zu . Wenn wir durch Setzen neue Variablen unter das Integralzeichen einführen $U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , wir sehen leicht, dass das Integral als Produkt von zwei Funktionen geschrieben werden kann, eine abhängig von die andere abhängig vom Vektor . Dies beweist, dass und unabhängig sind.

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

Haftungsausschluss . Diese Frage bezieht sich auf Lukacs 'Theorem zur Proportionssummenunabhängigkeit , daher auf den Artikel von Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Ich habe hier gerade den relevanten Teil dieses Artikels (nämlich S. 324) mit einigen Änderungen in den Notationen extrahiert. Ich habe auch die Verwendung der charakteristischen Funktion durch die der Laplace-Transformation ersetzt, um Änderungen von Variablen mit komplexen Zahlen zu vermeiden.

— Yves
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1

(+1) Für die Arbeit zur Charakterisierung der Gammaverteilung.

— Hartnäckig

1

Sei . Beachten Sie, dass eine Zusatzstatistik von , dh seine Verteilung hängt nicht von . $U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

Da eine vollständig ausreichende Statistik von , ist es nach Basus Theorem unabhängig von , daher folgt die Schlussfolgerung. $U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

Ich bin mir nicht sicher, wie die Zusatzstatistik aufgebaut ist, da sie nur von und nicht von unabhängig ist . $\beta$ $\alpha$

— Glockenkreis
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α

$\alpha$