Das Behrens-Fisher-Problem verstehen

Dieser Abschnitt von diesem Artikel sagt:

Ronald Fisher führte 1935 eine Referenzinferenz ein, um sie auf dieses Problem anzuwenden. Er bezog sich auf eine frühere Arbeit von WV Behrens von 1929. Behrens und Fisher vorgeschlagen , um die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu finden wobeiunddie beiden Stichprobenmittel sind undundihre Standardabweichungen sind. [. . . ] Fisher näherte sich der Verteilung an, indem er die zufällige Variation der relativen Größen der Standardabweichungenignorierte
$T. \equiv \frac{{\bar{x}}_{1} - - {\bar{x}}_{2}}{\sqrt{s_{1}^{2} /. n_{1} + s_{2}^{2} /. n_{2}}}$ $T \equiv {\bar x_1 - \bar x_2 \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$ $\bar x_1$ $\bar x_2$ $s_1$ $s_2$ $\frac{s_{1} /. \sqrt{n_{1}}}{\sqrt{s_{1}^{2} /. n_{1} + s_{2}^{2} /. n_{2}}} .$ ${s_1 / \sqrt{n_1} \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}.$

Ich finde, dass ich nicht geneigt bin, das zu glauben. (Daher ist Wikipedia fehlbar!) Irgendwann in den nächsten Wochen werde ich lesen, was Fisher, Behrens und Bartlett in den 1930er Jahren darüber geschrieben haben. Im Moment schaue ich mir Fischers Buch Statistische Methoden und wissenschaftliche Inferenz an . Wie bei Edwin Jaynes habe ich den Eindruck, dass die Tatsache, dass er gelegentlich ein Idiot war, in keiner Weise die Tatsache ändert, dass er ein großes Genie war, aber er drückte sich nicht immer so aus, wie es für die Kommunikation am besten war kleinere Sterbliche. Auf Seite 97 schreibt Fisher über Bartlett:

$s_1/s_2$

$s_1/s_2$ $s_1/s_2$

Wenn ich mich richtig erinnere, hörte ich zum ersten Mal von Bartlett, als ich darüber in der Encyclopedia of Statistical Science las, in der einfach gesagt wurde, dass Bartlett als erster gezeigt hat, dass Bezugsintervalle nicht dasselbe sind wie Konfidenzintervalle, indem er zeigte, dass die Bezugsintervalle dass Fisher in diesem Problem abgeleitet hatte, hatte keine konstanten Abdeckungsraten. Diese Aussage ließ mich nicht den Eindruck erwecken, dass dies kontrovers diskutiert wurde.

Also hier meine Frage: Welche näher an die Wahrheit ist: der Wikipedia - Artikel oder mein Verdacht?

Fisher, RA (1935) "Das Referenzargument in der statistischen Inferenz", Annals of Eugenics , 8, 391–398.

inference fiducial

— Michael Hardy
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Ich habe dies vielleicht schon einmal auf der Website erwähnt. Ich werde versuchen, einen Link zu einem Beitrag zu finden, in dem ich darüber gesprochen habe. Um 1977, als ich ein Doktorand in Stanford war, hatten wir ein Fisher-Seminar, an dem ich teilnahm. Eine Reihe von Stanford-Professoren und Besuchern nahmen teil, darunter Brad Efron und die Besucher Seymour Geisser und David Hinkley. Jimmie Savage hatte gerade einen Artikel mit dem Titel "On Rereading RA Fisher" in Annal of Statistics veröffentlicht, glaube ich. Da Sie sich so für Fisher interessieren, empfehle ich Ihnen, dieses Papier zu finden und zu lesen.

Motiviert durch das Papier wurde das Seminar entworfen, um viele der berühmten Papiere von Fisher erneut zu lesen. Meine Aufgabe war der Artikel über das Behrens-Fisher-Problem. Mein Gefühl ist, dass Fisher eitel und stur war, aber niemals dumm. Er hatte eine große geometrische Intuition und manchmal Schwierigkeiten, mit anderen zu kommunizieren. Er hatte eine sehr herzliche Beziehung zu Gosset, aber heftige Meinungsverschiedenheiten mit Karl Pearson (maximale Wahrscheinlichkeit gegenüber der Methode der Momente) und mit Neyman und Egon Pearson (Signifikanztests über Referenzinferenz gegenüber dem Neyman-Pearson-Ansatz für Hypothesentests). Obwohl das Referenzargument im Allgemeinen als der einzige große Fehler von Fisher angesehen wird und diskreditiert wurde, ist der Ansatz nicht völlig tot und es wurden in den letzten Jahren neue Forschungsergebnisse erzielt.

Ich denke, diese Bezugslinie war Fischers Weg, ein "objektiver Bayesianer" zu sein. Ich bin sicher, er hat lange und gründlich über die statistischen Grundlagen nachgedacht. Er akzeptierte den Bayes'schen Ansatz nicht, sah aber auch nicht die Idee, die Schlussfolgerung auf die Berücksichtigung der möglichen Stichproben zu stützen, die Sie nicht als sinnvoll erachteten. Er glaubte, dass die Schlussfolgerung nur auf den vorliegenden Daten beruhen sollte. Diese Idee ist der Bayes'schen Folgerung insofern sehr ähnlich, als die Bayesianer allein auf der Grundlage der Daten (der Wahrscheinlichkeit) und der Parameter (der vorherigen Verteilung) Rückschlüsse ziehen. Meiner Ansicht nach dachte Fisher viel wie Jeffreys, nur dass er wollte, dass die Schlussfolgerung auf der Wahrscheinlichkeit basiert und auf den Prior insgesamt verzichten wollte. Dies führte zu einer Referenz.

Ein Link zum Savage-Artikel

Die Biographie von Fischers Tochter Joan Fisher Box

RA Fisher An Appreciation, Redakteure von Hinkley und Feinberg

Ein Buch von Erich Lehmann über Fisher und Neyman und die Geburt der klassischen Statistik

Dies ist ein Link zu einem früheren Beitrag, den ich kommentiert habe und den Sie auch gepostet haben. Behrens-Fisher-Problem

Abschließend denke ich, dass ich Ihre kurze Frage beantworten muss. Wenn die Aussage, die Sie zitiert haben "Fisher hat die Verteilung davon angenähert, indem er die zufällige Variation der relativen Größen der Standardabweichungen ignoriert", das ist, worauf Sie sich beziehen, denke ich, dass das völlig falsch ist. Fisher ignorierte niemals Variationen. Ich wiederhole, dass ich denke, dass das Referenzargument auf der Idee beruhte, dass die beobachteten Daten und die Wahrscheinlichkeitsfunktion die Grundlage für Schlussfolgerungen sein sollten und nicht die anderen Stichproben, die Sie aus der Bevölkerungsverteilung hätten erhalten können. Also würde ich mich in diesem Fall auf Ihre Seite stellen. In Bezug auf Bartlett, wie ich mich aus meiner Studie vor so vielen Jahren erinnere, hatten sie auch heftige Debatten darüber, und Bartlett machte einen guten Fall und behauptete sich in der Debatte.

— Michael R. Chernick
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