Parametrisierung der Behrens-Fisher-Verteilungen

"Über das Behrens-Fisher-Problem: Ein Rückblick" von Seock-Ho Kim und Allen S. Cohen

Journal of Educational and Behavioral Statistics , Band 23, Nummer 4, Winter 1998, Seiten 356–377

Ich schaue mir dieses Ding an und es heißt:

Fisher (1935, 1939) wählte die Statistik [wobei die übliche Statistik mit einer Stichprobe für ] wobei im ersten Quadranten genommen wird und [. . . ] Die Verteilung von ist die Behrens-Fisher-Verteilung und wird durch die drei Parameter , und .
$τ = \frac{δ - ({\bar{x}}_{2} - {\bar{x}}_{1})}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}} = t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ$ $\tau = \frac{\delta-(\bar x_2 - \bar x_1)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} = t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $t_i$ $t$ $i=1,2$ $\theta$ $\begin{matrix} (13) & \tan θ = \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}} . \end{matrix}$ $\tan\theta = \frac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}.\tag{13}$ $\tau$ $\nu_1$ $\nu_2$ $\theta$

Die Parameter waren zuvor als für . $\nu_i$ $n_i-1$ $i=1,2$

Nun sind die Dinge, die hier nicht beobachtbar sind, und die zwei Populationen bedeuten , , deren Differenz , und folglich und die zwei Statistiken. Die Stichproben-SDs und sind beobachtbar und werden verwendet, um zu definieren , so dass eine beobachtbare Statistik und kein nicht beobachtbarer Populationsparameter ist. Wir sehen es jedoch als einen der Parameter dieser Verteilungsfamilie! $\delta$ $\mu_1$ $\mu_2$ $\delta$ $\tau$ $t$ $s_1$ $s_2$ $\theta$ $\theta$

Könnte es sein, dass sie hätten sagen sollen, dass der Parameter der Arkustangens von und nicht von ? $\dfrac{\sigma_1/\sqrt{n_1}}{\sigma_2/\sqrt{n_2}}$ $\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

distributions parameterization fiducial

— Michael Hardy
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Die Behrens-Fisher-Verteilung wird durch wobei eine reelle Zahl ist und und unabhängig $t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $\theta$ $t_2$ $t_1$ $t$ Verteilungen mit Freiheitsgraden bzw. sind. $\nu_2$ $\nu_1$

$\theta$ $\tau$ $\delta$ $\tau$

— Stéphane Laurent
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t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ

$t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$

θ

$\theta$

θ = \arctan \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}}

$\theta=\arctan\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

Sollte dies als ein weiteres Beispiel für Fischers Technik der Konditionierung auf einer Zusatzstatistik angesehen werden?

— Michael Hardy

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

τ

$\tau$

{\bar{x}}_{1}

$\bar x_1$

{\bar{x}}_{2}

$\bar x_2$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

δ

$\delta$

Antwort auf Ihren 2. Kommentar: Ich weiß es nicht. Hier ist dies eine Referenzstatistik.

— Stéphane Laurent

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

μ_{1}

$\mu_1$

μ_{2}

$\mu_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$