Kann der Mantel-Test auf asymmetrische Matrizen erweitert werden?

Der Mantel-Test wird normalerweise auf symmetrische Distanz- / Differenzmatrizen angewendet. Nach meinem Verständnis geht der Test davon aus, dass das zur Definition von Differenzen verwendete Maß mindestens eine Halbmetrik sein muss (den Standardanforderungen einer Metrik, aber nicht der Dreiecksungleichung entsprechen).

Kann die Annahme der Symmetrie gelockert werden (unter Angabe einer Vormetrik)? Ist es in diesem Fall möglich, den Permutationstest unter Verwendung der Vollmatrix anzuwenden?

Es muss nicht erweitert werden. Der ursprüngliche Mantel-Test, wie er 1967 in Mantel vorgestellt wurde , ermöglicht asymmetrische Matrizen. Denken Sie daran, dass dieser Test zwei Distanzmatrizen und .X $n\times n$$X$$Y$

An diesem Punkt können wir eine Änderung unserer Statistik erwarten, die die statistischen Verfahren vereinfacht, die im Folgenden entwickelt werden. Die Modifikation besteht darin, die Einschränkung zu entfernen und sie nur durch die Einschränkung zu ersetzen . Wenn und , bewirkt die Änderung einfach, dass sich der Wert der Summierung genau verdoppelt. Die dann entwickelten Prozeduren sind jedoch auch dann geeignet, wenn die Abstandsbeziehungen nicht symmetrisch sind, das heißt, wenn es möglich ist, dass und ; Ein besonderer Fall, der dann behandelt wird, ist, wo ...i ≠ j X i j = X j i Y i j = Y j i X i j ≠ X j i Y i j ≠ Y j i X i j = - X j i , Y i j = - Y j $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(in Abschnitt 4; Hervorhebung hinzugefügt).

Symmetrie scheint in vielen Programmen wie dem Paket für eine künstliche Bedingung ade4zu sein R, bei der Objekte einer "dist" -Klasse zum Speichern und Bearbeiten von Distanzmatrizen verwendet werden. Die Manipulationsfunktionen setzen voraus, dass die Abstände symmetrisch sind. Aus diesem Grund können Sie das mantel.rtestVerfahren nicht auf asymmetrische Matrizen anwenden - dies ist jedoch eine reine Software-Einschränkung und keine Eigenschaft des Tests.

Der Test selbst scheint keine Eigenschaften der Matrizen zu erfordern . Offensichtlich (aufgrund des ausdrücklichen Verweises auf antisymmetrische Verweise am Ende der vorhergehenden Passage) ist es nicht einmal erforderlich, dass die Einträge in oder positiv sind. Es handelt sich lediglich um einen Permutationstest, bei dem ein gewisses Maß für die Korrelation der beiden Matrizen (als Vektoren mit Elementen betrachtet) als Teststatistik verwendet wird.Y n $X$$Y$$n^2$

Grundsätzlich können wir diemögliche Permutationen unserer Daten, compute [die Teststatistik] für jede Permutation, und die Null - Verteilung erhalten , gegen der der beobachtete Wert von beurteilt werden kann.Z Z $n!$$Z$$Z$$Z$

[ ibid. ]

In der Tat wies Mantel ausdrücklich darauf hin, dass die Matrizen keine Distanzmatrizen sein müssen und betonte die Wichtigkeit dieser Möglichkeit :

Die allgemeinen Fallformeln sind auch für Fälle geeignet, in denen die und nicht den arithmetischen und geometrischen Regularien folgen, die im Clustering-Problem auferlegt sind; zB , . Es ist die Anwendbarkeit des allgemeinen Verfahrens auf beliebige und , die seine Ausdehnung auf eine größere Vielfalt von Problemen begründet ... Y i j X i k ≤ X i j + X j k X i j Y i $X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(Das Beispiel gibt die Dreiecksungleichung an.)

Als Beispiel bot er "das Studium der zwischenmenschlichen Beziehungen" an, in dem "wir haben Individuen und 2 verschiedene Maße, symmetrisch oder asymmetrisch , die jedes Individuum mit dem verbleibenden in Beziehung setzen " (Hervorhebung hinzugefügt).n - $n$$n-1$

In einem Anhang hat Mantel die "Permutationsvarianz von und dabei keine stärkere Annahme getroffen, als dass die diagonalen Elemente der Matrizen Konstanten sind, die möglicherweise nicht Null sind.$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

Zusammenfassend wurde von Anfang an jedes der metrischen Axiome explizit als unwesentlich für den Test betrachtet und abgelehnt:

1. "Entfernungen" können negativ sein.

2. "Abstände" zwischen einem Objekt und sich selbst können ungleich Null sein.

3. Die Dreiecksungleichung muss nicht gelten.

4. "Abstände" müssen nicht symmetrisch sein.

Abschließend möchte ich bemerken, dass die von Mantel vorgeschlagene Statistik für unsymmetrische Abstände möglicherweise nur schlecht funktioniert. Die Herausforderung besteht darin, eine Teststatistik zu finden, die zwei solche Matrizen effektiv unterscheidet: Verwenden Sie diese im Permutationstest anstelle der Summe der Produkte.$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

Dies ist ein Beispiel für den Test in R. Bei zwei Distanzmatrizen xund ygibt es eine Stichprobe der Permutationsverteilung zurück (als Vektor der Werte der Teststatistik). Es erfordert dies nicht xoder hat yüberhaupt keine besonderen Eigenschaften. Sie müssen nur die gleiche Größe der quadratischen Matrix haben.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}