Erwarteter Wert der Log-Determinante einer Wishart-Matrix

Sei , dh verteilt nach einer dimensionalen Wishart-Verteilung mit dem Mittelwert und Freiheitsgraden . Ich möchte einen Ausdruck für wo $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$ ist die Determinante.

Ich habe ein bisschen nach der Antwort auf diese Frage gesucht und einige widersprüchliche Informationen erhalten. In diesem Artikel wird ausdrücklich angegeben, dass wobeidie Digamma-Funktion

E (Log | Λ |) = D Log 2 + Log | Ψ | + \sum_{ich = 1}^{D} ψ (\frac{ν - ich + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

; Soweit ich das beurteilen kann, gibt die Zeitung keine Quelle für diese Tatsache an. Dies ist auch die Formel, die auf derWikipedia-Seite für den Wishart verwendet wird

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$ wird.

Auf der anderen Seite hat Google diese Diskussion mit einem verlinkten Artikel aufgegriffen , der besagt, dass Sie schließen mit der Aussage, dass

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

die sich aus der Tatsache ergibt, dass

. Ich habe diese Berechnung ab

und es scheintOrdnung, aber wir haben eine extra

E (Log | Λ |) = D Log 2 - D Log ν + Log | Ψ | + \sum_{ich = 1}^{D} ψ (\frac{ν - ich + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— Kerl
quelle

Als ich mich darauf vorbereitete, dies zu posten, konnte ich meine eigene Frage beantworten. In Übereinstimmung mit der allgemeinen StackExchange-Etikette habe ich beschlossen, sie trotzdem zu veröffentlichen, in der Hoffnung, dass jemand anderes, der auf dieses Problem stößt, dies in Zukunft möglicherweise findet, nachdem er möglicherweise auf dieselben Probleme mit Quellen gestoßen ist, die ich getan habe. Ich habe beschlossen, es sofort zu beantworten, damit niemand Zeit damit verschwendet, da die Lösung nicht interessant ist.

$(\dagger)$ ist falsch, weil das in der Diskussion verlinkte Papier eine andere Parametrisierung des Wisharts verwendete; Dies wurde von den Diskutanten nicht bemerkt. Was wir eigentlich haben sollten, ist

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$ Nach dieser Korrektur führen die beiden Formeln zu derselben Antwort.

Ich denke jedenfalls $(\dagger\dagger)$ ist eine interessante Beziehung.

BEARBEITEN:

Nach probabilisticlogics Rat können wir schreiben $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ wo niedriger dreieckig $L$ hat $N(0, 1)$ Elemente aus der Diagonale und $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ Elemente auf der Diagonale. Die Determinante beider Seiten nehmen gibt $(\dagger\dagger)$ sofort.

— Kerl
quelle

Mir gefällt die Cholesky-Version besser - Sie haben die Quadratwurzel von Chi-Quadrat auf der Diagonale und die Normale auf dem unteren Dreieck.

— Wahrscheinlichkeitslogik

@probabilityislogic Danke für den Tipp! Sich daran zu erinnern, scheint einfacher und nützlicher.

— Kerl

Hey, ich versuche, die Erwartung des Protokolls Wishart (in Bishops Buch angegeben) abzuleiten, das kompliziert aussieht. Haben Sie eine Quelle gefunden, um das Ergebnis abzuleiten?

— Avocado