Unvoreingenommener, positiver Schätzer für das Quadrat des Mittelwerts

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Angenommen, wir haben Zugriff auf iid-Proben aus einer Verteilung mit dem wahren (unbekannten) Mittelwert und der Varianz $\mu, \sigma^2$ , und wir möchten schätzen . $\mu^2$

Wie können wir einen unvoreingenommenen, immer positiven Schätzer dieser Größe konstruieren?

Das Quadrat des Stichprobenmittelwerts ist voreingenommen und überschätzt die Menge, insb. wenn nahe bei 0 liegt und groß ist. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Dies ist möglicherweise eine triviale Frage, aber meine Google-Kenntnisse lassen mich im Stich, da sie estimator of mean-squarednur zurückkehrenmean-squarred-error estimators

Wenn es die Sache einfacher macht, kann angenommen werden, dass die zugrunde liegende Verteilung Gaußsch ist.

Lösung:

Es ist möglich, eine unvoreingenommene Schätzung von zu konstruieren ; siehe knrumseys antwort $\mu^2$
Es ist nicht möglich, eine unvoreingenommene, immer positive Schätzung von erstellen, da diese Anforderungen in Konflikt stehen, wenn der wahre Mittelwert 0 ist; siehe Winks 'Antwort $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Zwinkert
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Vielleicht suchen Sie stattdessen nach dem Schätzer des quadratischen Mittelwerts oder dem Schätzer des quadratischen Mittelwerts . Als ich Ihren Titel las, war ich auch verwirrt (genau wie Google), deshalb habe ich ihn bearbeitet, um ihn intuitiver zu gestalten.

— Richard Hardy

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Es ist zu beachten, dass der Stichprobenmittelwert $\bar{X}$ ebenfalls normalverteilt ist, mit dem Mittelwert $\mu$ und der Varianz $\sigma^2/n$ . Dies bedeutet, dass

E. ({\bar{X.}}^{2}) = E. (\bar{X.})^{2} + Var (\bar{X.}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Wenn Sie sich nur um eine unvoreingenommene Schätzung kümmern, können Sie die Tatsache nutzen, dass die Stichprobenvarianz für $\sigma^2$ unvoreingenommen ist . Dies impliziert, dass der Schätzer

\hat{μ^{2}} = {\bar{X.}}^{2} - - \frac{{S.}^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$ ist für

μ^{2}

$\mu^2$ .

— knrumsey
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\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

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(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@Winks Das ist genau der Grund, warum dies ein Beispiel für einen absurden, unvoreingenommenen Schätzer ist.

— Hartnäckig

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

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$\mu^2$

Wenn der wahre Mittelwert 0 ist, muss der Schätzer erwartungsgemäß 0 zurückgeben, darf jedoch keine negativen Zahlen ausgeben, daher darf er auch keine positiven Zahlen ausgeben, da dies voreingenommen wäre. Ein unvoreingenommener, immer positiver Schätzer dieser Größe muss daher immer die richtige Antwort zurückgeben, wenn der Mittelwert 0 ist, unabhängig von den Stichproben, was unmöglich erscheint.

$\mu^2$

— Zwinkert
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Es gibt ein ziemlich altes Papier von Jim Berger, das diese Tatsache belegt, aber ich kann es nicht nachvollziehen. Das Problem tritt auch in Monte Carlo bei Debiasing-Schätzern wie dem russischen Roulette auf.

— Xi'an