Wird die Stationarität unter einer linearen Kombination bewahrt?

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Zeitreihenprozesse, die stationär sind und erzeugen: $x_t,y_t$ .

Ist $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$ , $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ auch stationär?

Jede Hilfe wäre dankbar.

Ich würde ja sagen, da es eine MA-Vertretung hat.

Vielleicht überraschend ist dies nicht wahr. (Die Unabhängigkeit der beiden Zeitreihen wird es jedoch wahr machen.)

Ich verstehe "stabil" als " stationär", da diese Wörter offenbar in Millionen von Suchtreffern synonym verwendet werden, darunter mindestens eines auf unserer Website .

Als Gegenbeispiel sei eine nicht konstante stationäre Zeitreihe, für die jedes X t unabhängig von X s , s ≠ t ist und deren Randverteilungen um 0 symmetrisch sind . Definieren$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Diese Darstellungen zeigen Teile der drei in diesem Beitrag behandelten Zeitreihen. wurde als eine Reihe unabhängiger Ziehungen aus einer Standardnormalverteilung simuliert.$X$

Um zu zeigen, dass stationär ist, müssen wir zeigen, dass die gemeinsame Verteilung von ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) für jedes t 1 < t 2 < ⋯ < t n gilt nicht abhängig von s . Dies folgt jedoch unmittelbar aus der Symmetrie und Unabhängigkeit des X t . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Diese verzögerten Streudiagramme (für eine Folge von 512 Werten von ) veranschaulichen die Behauptung, dass die gemeinsamen bivariaten Verteilungen von Y wie erwartet sind: unabhängig und symmetrisch. (Ein "verzögertes Streudiagramm" zeigt die Werte von Y t + s gegen Y t an ; Werte von s = 0 , 1 , 2 sind gezeigt.)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Dennoch, die Wahl , haben wir$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

für eben und sonst$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Da nicht konstant ist, haben diese beiden Ausdrücke offensichtlich unterschiedliche Verteilungen für t und t + 1 , weshalb die Reihe ( X + Y ) / 2 nicht stationär ist. Die Farben in der ersten Abbildung heben diese Nichtstationarität in ( X + Y ) / 2 hervor, indem sie die Nullwerte von den übrigen unterscheiden.$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Betrachten Sie den zweidimensionalen Prozess

$$w_t = (x_t, y_t)$$

$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

In @ whubers Beispiel haben wir

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$x_t$

$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Für strenge Stationarität müssen wir haben

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

während

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

$f(x_t,y_t)$

$x_t$$y_t$$y_t$

Erwägen

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

$(q_t)$

Dies ist eine gute Nachricht, da ein Prozess, der vom Index abhängt und streng stationär ist, nicht zu den Modellannahmen gehört, die wir sehr oft treffen müssen. In der Praxis erwarten wir daher bei einer marginalen strengen Stationarität auch bei vorhandener Abhängigkeit eine gemeinsame strenge Stationarität (obwohl wir dies natürlich überprüfen sollten).

Ich würde ja sagen, da es eine MA-Vertretung hat.

Eine Beobachtung. Ich denke, dass eine MA-Vertretung schwache Stationarität impliziert, nicht sicher, ob sie starke Stationarität impliziert.