Wenn

Angenommen, hat eine logarithmische Normalverteilung und es gibt eine echte positive Zahl . Ist es dann richtig zu sagen, dass auch eine logarithmische Normalverteilung hat? Mein Gefühl ist, dass dies nicht möglich ist, da einen negativen Wert annehmen kann, während eine logarithmische Normalverteilung nur in der positiven Domäne definiert ist. Kann jemand das widerlegen?c ( X - c ) ( X - c $X$$c$$(X -c)$$(X - c)$

Die Antwort auf Ihre Frage lautet (im Wesentlichen) nein und Ihr Argument hat die richtige Idee. Im Folgenden formalisieren wir es ein wenig. (Eine Erklärung der oben genannten Einschränkung finden Sie im Kommentar von @ whuber unten.)

Wenn eine logarithmische Normalverteilung hat, bedeutet dies, dass log ( X ) eine Normalverteilung hat. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, ist, dass X = e Z ist, wobei Z eine N ( μ , σ 2 ) -Verteilung für einige μ ∈ R , σ 2 > 0 hat . Es ist zu beachten, dass dies konstruktionsbedingt impliziert, dass X ≥ 0 mit der Wahrscheinlichkeit eins ist.$X$$\log(X)$$X = e^{Z}$$Z$$N(\mu, \sigma^2)$$\mu \in \mathbb{R}, \sigma^2 >0$$X \geq 0$

Nun kann keine logarithmische Normalverteilung haben, weil$X-c = e^Z - c$

das ist streng positiv für jedes . Daher hat e Z - c eine positive Wahrscheinlichkeit, negative Werte anzunehmen, was verhindert, dass e Z - c logarithmisch normal verteilt ist.$c > 0$$e^Z - c$$e^Z - c$

Zusammenfassend wird die logarithmische Normalverteilung nicht unter Subtraktion einer positiven Konstante geschlossen. Es wird jedoch unter Multiplikation mit einer (positiven) Konstante geschlossen, aber das ist eine ganz andere Frage.