Null aufgeblasene Poisson-Regression

Angenommen, sind unabhängig und $\textbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_n)'$

\begin{aligned} Y_{i} = 0 & with probability p_{i} + (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} \\ Y_{i} = k & with probability (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} λ_{i}^{k} / k! \end{aligned}

$\eqalign{ Y_i = 0 & \text{with probability} \ p_i+(1-p_i)e^{-\lambda_i}\\ Y_i = k & \text{with probability} \ (1-p_i)e^{-\lambda_i} \lambda_{i}^{k}/k! }$

Angenommen, die Parameter und erfüllt $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)'$ $\textbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$

\begin{aligned} \log (λ) & = B β \\ logit (p) & = \log (p / (1 - p)) = G λ . \end{aligned}

$\eqalign{ \log(\mathbf{\lambda}) &= \textbf{B} \beta \\ \text{logit}(\textbf{p}) &= \log(\textbf{p}/(1-\textbf{p})) = \textbf{G} \mathbf{\lambda}. }$

Wenn die gleichen Kovariaten auf und so dass , warum erfordert die auf Null aufgeblasene Poisson-Regression doppelt so viele Parameter wie die Poisson-Regression? $\mathbf{\lambda}$ $\textbf{p}$ $\textbf{B} = \textbf{G}$

poisson-regression zero-inflation

— Damien
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Sie müssen noch und schätzen . und sind Entwurfsmatrizen (Daten), sodass durch Gleichheit die Dimension des Parameterraums nicht verringert wird.

β

$\beta$

λ

$\lambda$

B

$\bf B$

G

$\bf G$

— Makro

@Macro: Wenn eine Spalte mit Einsen ist, warum benötigen wir dann 1 Parameter mehr als die Poisson-Regression?

G

$\textbf{G}$

— Damien

Nun, Sie müssen (den "Schnittpunkt" im logistischen Teil des Modells) und (den "Schnittpunkt" im Poisson-Teil des Modells) schätzen, damit es 2 Parameter anstelle von 1 gibt.

p_{i}

$p_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

— Macro

@Robby, um die Anzahl der Parameter zu verringern, müssten Sie einige Einschränkungen vornehmen. Zum Beispiel , obwohl es keinen Grund gibt, dies für sinnvoll zu halten - zumal die Verknüpfungsfunktionen unterschiedlich sind.

λ = β

$\lambda=\beta$

— Makro

@MichaelChernick - es heißt Poisson mit Null-Inflation, weil Sie im Grunde die Wahrscheinlichkeit "aufblähen", eine Null von einer Poisson-Distanz aus zu sehen, während Sie die gleichen relativen Wahrscheinlichkeiten beibehalten, einen Wert ungleich Null zu sehen, wie der Poisson.

— Bogenschütze

In der Null aufgeblasen Poisson Fall, wenn , dann und beide haben die gleiche Länge, die die Anzahl der Spalten ist , oder . Die Anzahl der Parameter ist also doppelt so groß wie die Anzahl der Spalten in der Entwurfsmatrix, dh doppelt so groß wie die Anzahl der erklärenden Variablen einschließlich des Abschnitts (und der erforderlichen Dummy-Codierung). $\mathbf{B}=\mathbf{G}$ $\beta$ $\lambda$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$

In einer geraden Poisson-Regression gibt es keinen Vektor, über den man sich Sorgen machen müsste , und es ist nicht erforderlich, zu schätzen . Die Anzahl der Parameter ist also nur die Länge von dh die Hälfte der Anzahl der Parameter im Fall ohne Aufpumpen. $\mathbf{p}$ $\lambda$ $\beta$

Nun, es gibt keinen besonderen Grund, warum gleich , aber im Allgemeinen macht es Sinn. Allerdings könnte man einen Datenerzeugungsprozess vorstellen , wo die Wahrscheinlichkeit , überhaupt irgendwelche Ereignisse, die durch einen Prozess erzeugt wird , und ein völlig anderer Prozess - Laufwerke , wie viele Ereignisse gibt es, da Nicht-Null - Ereignisse. Als konstruiertes Beispiel wähle ich Klassenzimmer basierend auf den Ergebnissen ihrer Verlaufsprüfung aus, um ein Spiel zu spielen, das nichts damit zu tun hat, und beobachte dann die Anzahl der Tore, die sie erzielen. In diesem Fall ist möglicherweise ganz anders als (wenn sich die Punkte der Prüfung zur Fahrgeschichte von denen der Fahrleistung im Spiel unterscheiden) und und $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ $\mathbf{G\lambda}$ $\mathbf{B\beta}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ $\beta$ $\lambda$ könnte unterschiedliche Längen haben. möglicherweise mehr Spalten als oder weniger. In diesem Fall verfügt das Poisson-Modell mit Null-Inflation über mehr Parameter als ein einfaches Poisson-Modell. $\mathbf{G}$ $\mathbf{B}$

In der allgemeinen Praxis denke ich die meiste Zeit, dass . $\mathbf{G} = \mathbf{B}$

— Peter Ellis
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