Ist es (immer) wahr, dass
Ist es (immer) wahr, dass
Antworten:
Die Antwort auf Ihre Frage lautet "Manchmal, aber nicht generell".
Um dies zu sehen, sei eine Zufallsvariable (mit endlichen Abweichungen). Dann,
Beachten Sie nun, dass , was klar ist, wenn Sie Überlegen Sie, was Sie tun, wenn Sie von Hand berechnen . Deshalb, ( a 1 + . . . + A n ) ⋅ ( a 1 + . . . + A n )
ähnlich,
damit
nach der Definition von Kovarianz.
Nun zu Ist die Varianz einer Summe gleich der Summe der Varianzen? :
Wenn die Variablen nicht sind, ja : das heißt, für , dann ist
Wenn die Variablen korreliert sind, nein, nicht generell : Angenommen, sind zwei Zufallsvariablen mit der Varianz und wobei . Dann ist , sodass die Identität fehlschlägt.
aber es ist für bestimmte Beispiele möglich : Angenommen, haben eine Kovarianzmatrix dann
Deshalb , wenn die Variablen unkorreliert sind dann die Varianz der Summe ist die Summe der Varianzen, sondern umgekehrt ist nicht allgemein wahr.
Wenn also die Kovarianzen auf gemittelt werden , was eine Konsequenz wäre, wenn die Variablen paarweise nicht korreliert sind oder wenn sie unabhängig sind, dann ist die Varianz der Summe die Summe der Varianzen.
Ein Beispiel, in dem dies nicht zutrifft: Es sei . Sei . Dann ist .
Ich wollte nur eine prägnantere Version des von Macro bereitgestellten Proofs hinzufügen, damit Sie leichter sehen können, was los ist.
Beachten Sie, dass seit
Für zwei beliebige Zufallsvariablen gilt:
X,YE(XY)=E(X)E(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(
Beachten Sie, dass wir das Ergebnis für die Summe von Zufallsvariablen durch eine einfache Induktion erzeugen können .
Ja, wenn jedes Paar der nicht korreliert ist, ist dies wahr.
Siehe die Erklärung auf Wikipedia