Hypothesentest an der inversen Kovarianzmatrix

Angenommen, ich beobachte iid und möchte testen vech für a konforme Matrix und Vektor . Gibt es bekannte Arbeiten zu diesem Problem? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

Der offensichtliche (für mich) Versuch würde über einen Likelihood-Ratio-Test erfolgen, aber es scheint, als würde die Maximierung der Wahrscheinlichkeit, die den Einschränkungen von unterliegt, einen SDP-Löser erfordern und könnte ziemlich haarig sein. $H_0$

— shabbychef
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Haben Sie zusätzliche Einschränkungen für ? Wenn invertierbar ist, dann ist . Das Problem , dann beträgt ein altbekanntes Problem: das Testen , ob der . Hier ( zur Erinnerung , dass bestimmt eindeutig).

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$

B

$B$

— MånsT

@ MånsT; Leider interessiert mich der allgemeine Fall. Normalerweise hat ungefähr 10 Zeilen und 400 Spalten oder so.

A

$A$

— Shabbychef

Eine Sache, die ich mich über dieses Problem wundere, betrifft die Machbarkeit. Offensichtlich ist es leicht, Paare so zu finden dass keine positive semidefinite Matrix die Bedingungen erfüllen kann. Potenziell problematischer für einen Likelihood-Ratio-Test ist, dass es Fälle geben kann, in denen man selbst dann, wenn die Nullhypothese wahr ist, mit hoher Wahrscheinlichkeit eine nicht realisierbare Probleminstanz erhält. Vielleicht ist dieser letzte Teil jedoch falsch. (+1) Sie neigen dazu, interessante und herausfordernde Probleme zu stellen. Ich lese gerne und denke ein bisschen über sie nach.

(A, a)

$(A,a)$

— Kardinal

@ Kardinal Guter Fang! Daran hatte ich nicht gedacht, weil die Nullhypothese in der von mir in Betracht gezogenen Anwendung nur nichtdiagonale Elemente von einschränkt (die entsprechenden Spalten von sind alle Null). Da die Diagonale beliebig groß sein kann, kann ich die Machbarkeit garantieren.

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

— Shabbychef

Beran und Srivastava (1985, Annals of Statistics) hatten ein Papier, in dem sie einen allgemeinen Bootstrap-Ansatz vorschlugen, um eine Rotation auf die Kovarianzmatrix anzuwenden, die sie mit der Verteilung unter Null übereinstimmen lässt. Der Punkt von @ cardinal über die Existenz einer solchen Matrix ist hier jedoch sehr relevant. Sie müssen in der Lage sein, mindestens eine Annäherung für eine Matrix zu finden, die die Einschränkungen erfüllt, die Sie unter der Null auferlegen.

Chen, Variyath und Bovas hatten ein Papier über angepasste empirische Ähnlichkeiten, in dem sie demonstrierten, wie es verwendet werden kann, um eine ziemlich seltsame Struktur auf der Kovarianzmatrix zu testen. Ich denke, dieses Papier kam schließlich in CJS heraus.

— StasK
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Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese leicht in eine Lösung für mein Problem übersetzen kann, aber beide sind faszinierende Lektüren. +1.

— Shabbychef