Warum ist ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Wir beschäftigen uns mit der lognormalen Verteilung in einem Finanzkurs und in meinem Lehrbuch heißt es nur, dass dies wahr ist, was ich irgendwie frustrierend finde, da mein mathematischer Hintergrund nicht sehr ausgeprägt ist, ich aber die Intuition will. Kann mir jemand zeigen, warum das so ist?

Denken Sie daran, dass $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Also $e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Wenn wir nun , haben wir:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

nimm jetzt logs von beiden seiten

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Alternative:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (wobei )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$(da )$\ln(t+1)\leq t$

Nehmen Sie nun die Erwartungen beider Seiten an:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Eine Illustration (die den Zusammenhang mit Jensens Ungleichung zeigt):

( Hier sind die Rollen von X und Y vertauscht, damit sie mit den Plotachsen übereinstimmen. Eine bessere Planung hätte ihre Rollen darüber vertauscht, damit der Plot direkter mit der Algebra übereinstimmt. )

Die durchgezogenen farbigen Linien stellen Mittelwerte auf jeder Achse dar.

$X$$Y$$Y$