Gibt es eine Methode zur Schätzung von Verteilungsparametern, die nur aus Quantilen bestehen?

Gibt es eine Möglichkeit, eine bestimmte Verteilung anzupassen, wenn Sie nur wenige Quantile erhalten?

Wenn ich Ihnen zum Beispiel sage, dass ich einen Gamma-verteilten Datensatz habe und die empirischen 20%, 30%, 50% und 90% -Quantile sind:

      20%       30%       50%       90% 
0.3936833 0.4890963 0.6751703 1.3404074

Wie würde ich die Parameter schätzen? Gibt es mehrere Möglichkeiten, dies zu tun, oder gibt es bereits ein bestimmtes Verfahren?

mehr bearbeiten: Ich frage nicht speziell nach der Gammaverteilung, dies war nur ein Beispiel, weil ich mir Sorgen mache, dass ich meine Frage nicht angemessen erklären kann. Meine Aufgabe ist es, dass ich einige (2-4) gegebene Quantile habe und die (1-3) Parameter einiger Verteilungen so "nah" wie möglich schätzen möchte. Manchmal gibt es eine (oder unendlich) genaue Lösung (en), manchmal nicht, oder?

distributions quantiles fitting

— Alexander Engelhardt
quelle

Ich habe dafür gestimmt, dies als Duplikat von stats.stackexchange.com/questions/6022 zu schließen , aber dann kam mir der Gedanke , dass es mögliche Interpretationen dieser Frage gibt, die sie auf interessante Weise anders machen. Als rein mathematische Frage - wenn Ihnen jemand neckisch ein paar Quantile einer mathematischen Verteilung gibt - ist dies ohne statistisches Interesse und gehört zur mathematischen Seite. Wenn diese Quantile jedoch in einem Datensatz gemessen werden, entsprechen sie im Allgemeinen nicht genau den Quantilen einer Gammaverteilung, und wir müssen in gewissem Sinne die "beste" Anpassung finden.

— whuber

Also, nach diesem langen einleitenden Kommentar, in welcher Situation bist du, Alexx? Sollten wir Ihre Frage zur theoretischen Antwort an die Mathematiker senden, oder werden diese Quantile aus Daten abgeleitet? Wenn letzteres der Fall ist, können Sie uns dann helfen, zu verstehen, wie eine "gute" (oder "beste") Lösung aussehen würde? Sollte beispielsweise die angepasste Verteilung besser mit einigen Quantilen übereinstimmen als mit einigen anderen, wenn eine perfekte Anpassung nicht möglich ist?

— whuber

Tatsächlich schätzt die zweite Antwort (von @mpiktas) in dem von Ihnen geposteten Link die Verteilung, selbst wenn Ihre Quantile nicht genau sind (abgeleitet aus den Daten).

— Dmitry Laptev

@Stas Was hat dieses Problem mit GMM zu tun? Ich sehe keine Momente im Beweis!

— whuber

"Moments" ist zugegebenermaßen ein schlechter Name, an dem sie festgehalten haben. Die Methode funktioniert tatsächlich mit dem Schätzen von Gleichungen, und ich hoffe, Sie sehen einige in diesem Beispiel, @whuber. Um es anders auszudrücken: Die GMM-Theorie deckt alles ab, was mit dem quadratischen Verlust für die Schätzung von Gleichungen getan werden kann, einschließlich Asymptotik höherer Ordnung und seltsamen Abhängigkeiten zwischen Beobachtungen oder Gleichungen.

— StasK

$k$ $X_{(k)}$ $100 \cdot k/n$

— Michael R. Chernick
quelle

k

$k$

k

$k$

k / n

$k/n$

Wenn n die Stichprobengröße ist, repräsentiert die Statistik der k-ten Ordnung eine Schätzung des 100 k / n-Perzentils der untersuchten Stichprobe.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick, ich habe deine Antwort leicht bearbeitet, um das klar zu machen - hoffentlich sieht das in Ordnung aus.

— Makro