Warum haben einige Formeln den Koeffizienten der logistischen Regressionswahrscheinlichkeit im Vordergrund und andere nicht?

Ich leite die Wahrscheinlichkeit einer logistischen Regression ab. Ich habe zwei verschiedene Versionen gesehen:

\begin{matrix} (1) & f (y | β) = \prod_{i = 1}^{N} \frac{n_{i}}{y_{i}! (n_{i} - y_{i})!} π_{i}^{y_{i}} (1 - π_{i})^{n_{i} - y_{i}} \end{matrix}

$\begin{equation} f(y|\beta)={\displaystyle \prod_{i=1}^{N} \frac{n_i} {y_i!(n_i-y_i)!}} \pi_{i}^{y_i}(1-\pi_i)^{n_i - y_i} \tag 1 \end{equation}$

Oder dieses

\begin{matrix} (2) & L (β_{0}, β_{1}) = \prod_{i = 1}^{N} p (x_{i})^{y_{i}} (1 - p (x_{i}))^{1 - y_{i}} \end{matrix}

$\begin{equation} L(\beta_0,\beta_1)= \displaystyle \prod_{i=1}^{N}p(x_i)^{y_i}(1-p(x_i))^{1-y_i} \tag 2 \end{equation}$

Warum gibt es in Gleichung 1 ? $\frac{n_i} {y_i!(n_i-y_i)!}$

Quellen:

Erstens: https://czep.net/stat/mlelr.pdf (Seite 3, Äqu. 2)
Zweitens: http://www.stat.cmu.edu/~cshalizi/uADA/12/lectures/ch12.pdf (Seite 5, äqu. 12.6)

Hinweis: Diese Frage ist kein Duplikat von Was bedeutet "Wahrscheinlichkeit wird nur bis zu einer multiplikativen Proportionalitätskonstante definiert" in der Praxis? Man kann die Antwort auf die Binomialverteilung zurückführen, nachdem man gesehen hat, wie es gemacht wird. Aber niemand hätte gewusst, dass die Frage in diesem Beitrag die Antwort auf diese Frage ist.

logistic maximum-likelihood likelihood

— user13985
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Dieser Faktor sollte vorhanden sein, aber wenn Sie nach der suchen , die diese Funktion maximiert, hat dies keinen Einfluss auf die in der Sie das Maximum haben , da der Faktor nicht von abhängt . Übrigens haben Sie den in der zweiten Formel verloren.

β

$\beta$

β

$\beta$

β

$\beta$

Π

$\Pi$

Selbst nachdem ich die Notiz gesehen hatte (und tiefer gegraben hatte, das Schließen und Wiedereröffnen gesehen hatte), hätte auch ich gesagt, dass "Wahrscheinlichkeitsfunktionen bis zur Verhältnismäßigkeit definiert sind" die Antwort auf diese Frage war. Hier spielt es keine Rolle, ob Sie die Reihenfolge der Beobachtungen kennen oder nicht, da sie zu proportionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen führen

— Henry

Der zweite ist ein Sonderfall des ersten. Ihre erste Referenz beschreibt den Fall, in dem jedes als Binomialverteilung mit der Stichprobengröße , während die zweite Referenz davon ausgeht, dass jedes eine Bernoulli-Zufallsvariable ist. Das ist der Unterschied: Wenn jedes , ist . $y_i$ $n_i$ $y_i$ $n_i = 1$ $\frac{n_i} {y_i!(n_i-y_i)!} = 1$

Einige Zitate, die dies unterstützen: aus 2.1.2 in der ersten Referenz:

Da die Erfolgswahrscheinlichkeit für einen der Versuche ... $n_i$ $\pi_i$

Und aus dem ersten Abschnitt in der zweiten Referenz 12.1:

Wählen wir eine der Klassen aus und nennen sie " " und die andere " " ... $1$ $0$

— Taylor
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