Referenz für

In seiner Antwort auf meine vorherige Frage gibt @Erik P. den Ausdruck Wobei ist der Überschuss Kurtosis der Verteilung. Es wird auf den Wikipedia-Eintrag zurVerteilung der Stichprobenvarianzverwiesen, auf der Wikipedia-Seite steht jedoch "Zitieren erforderlich".

V a r [s^{2}] = σ^{4} (\frac{2}{n - 1} + \frac{κ}{n}),

$\mathrm{Var}[s^2]=\sigma^4 \left(\frac{2}{n-1} + \frac{\kappa}{n}\right) \>,$

κ

$\kappa$

Meine Hauptfrage ist, gibt es eine Referenz für diese Formel? Ist es 'trivial' abzuleiten, und wenn ja, kann es in einem Lehrbuch gefunden werden? (@Erik P. konnte es weder in der mathematischen Statistik und Datenanalyse noch in der statistischen Inferenz von Casella und Berger finden . Obwohl das Thema behandelt wird.

Es wäre schön, eine Lehrbuchreferenz zu haben, aber noch nützlicher wäre es, eine (die) Primärreferenz zu haben.

Update : @cardinal wies auf eine andere Gleichung in math.SE hin : wobeidas vierte zentrale Moment ist.

V a r (S^{2}) = \frac{μ_{4}}{n} - \frac{σ^{4} (n - 3)}{n (n - 1)}

$\mathrm{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

μ_{4}

$\mu_4$

Gibt es eine Möglichkeit, die Gleichungen neu anzuordnen und die beiden aufzulösen, oder ist die Gleichung im Titel falsch?

estimation variance references

— Abe
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Ich denke nicht, dass diese Formel richtig ist.

— Kardinal

Siehe auch

— Kardinal

Diese verwandte Frage wurde von @ byron-schmuland

— Abe

Ich denke du meinst beantwortet , nicht gefragt . Die in dieser Frage angegebene Formel ist falsch. wie Byrons Antwort gut zeigt. :)

— Kardinal

Leider funktioniert ein solches Ping nur, wenn er bereits am Kommentar-Stream teilgenommen hat. :( (Es scheint, dass er nach dem Kommentar, den Sie zu der Frage auf der Mathe-Website gepostet haben, Kenntnis genommen hat.) Prost.

— Kardinal

Antworten:

Quelle: Einführung in die Theorie der Statistik , Mood, Graybill, Boes, 3. Auflage, 1974, p. 229.

Ableitung: Beachten Sie, dass im Wikipedia-Link des OP nicht die Kurtosis ist, sondern die überschüssige Kurtosis, die "reguläre" Kurtosis - 3. Um zur "regulären" Kurtosis zurückzukehren, müssen wir 3 an der entsprechenden Stelle in der hinzufügen Wikipedia-Formel. $\kappa$

Wir haben von MGB:

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

was unter Verwendung der Identität angeordnet werden kann (Ableitung meiner, also auch Fehler): $\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

— jbowman
quelle

(+1) Fast 40 Jahre nach der letzten Ausgabe ist MGB immer noch die beste Einführung in die Mathematik. Es ist eine Schande, dass es in der westlichen Welt so lange vergriffen ist.

— Kardinal

Ich habe ein PDF von MGD gefunden , aber es gibt kein Zitat zum Originalbeweis. Was in Ordnung ist, aber es wäre schön zu wissen, wo es zu finden ist.

— Abe

Die eigentliche Ableitung des Ergebnisses erfolgt nicht in MGB, sondern wir haben uns auf Problem 5 (b) auf Seite 266 verwiesen.

— Kardinal

Ja, nicht alle Aussagen enthalten Beweise, aber zumindest ist diese im Text enthalten und nicht auf eine Frage verwiesen, und es gibt einen Überblick über die Herangehensweise an den Beweis auf S. 22. 230.

— Jbowman

@Abe: Sie werden mit ziemlicher Sicherheit keine "Original" -Referenz dafür finden. Es ist nicht die Art von eigenständigem "publizierbarem" Ergebnis, das in Fachzeitschriften zu finden ist. Es ist einfach eine (ziemlich langwierige) Berechnung, die sich aus den grundlegenden Eigenschaften der mathematischen Erwartung ergibt. Ein Lehrbuch wie MGB zu zitieren ist absolut vernünftig und akzeptabel.

— Kardinal

Es ist nicht klar, ob dies Ihren Bedürfnissen nach einer endgültigen Referenz entspricht, aber diese Frage taucht in den Übungen von Casella und Berger auf:

(Seite 364, Übung 7.45 b):

enter image description here

In Bezug auf Übung 5b bietet dies eine andere Variante, in der $\Theta_2$ und $\Theta_4$ sind der zweite und vierte Moment ( $\sigma^2$ und $\kappa$ ), beziehungsweise:

enter image description here

Diese entsprechen der Gleichung, die in einer Antwort auf math.SE angegeben ist :

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

— David LeBauer
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Es ist interessant, dass Ihr Link und mein Link (in den Kommentaren zum OP) unterschiedlich sind, aber auf dieselbe Stelle verweisen.

— Kardinal

@cardinal - Ich habe gerade aus dem OP kopiert - aber die letzten Ziffern sind die Benutzer-ID der Person, die den Link kopiert, z. B. wäre mein Link math.stackexchange.com/a/73080/3733

— David LeBauer

Aha! (+1) Ich habe nicht bemerkt, dass der letzte Teil des Links die eigene ID war! Vielen Dank für den Hinweis. Wir werden verfolgt ...

— Kardinal

Es ist gut, eine vertrauenswürdige Referenz zu haben, aber es wäre trotzdem schön, das Original aufzuspüren. +1 für das Durchsehen der Übungen.

— Abe

@ Kardinal eine Rechtfertigung für / Verwendung von Tracking ist die Abzeichen für das Teilen von Links (Ansager, Booster, Publizist)

— David LeBauer