Varianz von Minimum und Maximum von 2 iid Normal

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Lassen $X$ und $Y$ sei iid $\sim Normal(0,1)$

Lassen $A=max(X,Y)$ und $B=min(X,Y)$

Was sind $Var(A)$ und $Var(B)$ ?

Aus der Simulation bekomme ich $Var(A)=Var(B)$ ungefähr 0,70.

Wie bekomme ich das analytisch?

— user164144
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Wenn Sie sich davon überzeugen können

max (X, Y) \overset{d}{=} - min (X, Y),

$\max(X,Y) \overset{d}{=} -\min(X,Y),$ Wenn Sie dann die Varianz auf beiden Seiten nehmen, erhalten Sie Ihre Antwort.

In Bezug auf den anderen Teil müssen Sie wahrscheinlich von Hand integrieren.

— Taylor
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Der von Ihnen angegebene Ausdruck impliziert, dass Var (A) = Var (B) ist, und damit kann ich für die einzelnen Varianzen bereits aus der Gleichung berechnen . Daraus erhalte ich 0,68, was meiner Meinung nach der simulierten Antwort nahe genug kommt.

V a r (A) + V a r (B) = 2 - \frac{2}{π}

$Var(A)+Var(B)=2-\frac{2}{\pi}$

— user164144

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Ich habe auch gerade gelesen, dass der von Ihnen angegebene Ausdruck im Allgemeinen als . Zur Verdeutlichung ist das Negativ für -f in meinem Fall nicht relevant, da X und Y den Mittelwert 0 haben, richtig?

m a x (f) = - m i n (- f)

$max(f)=-min(-f)$

— user164144

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@ user164144 ja das stimmt, aber der zweite teil ist mehr als das. durch Algebra, Logik, Unabhängigkeit bzw. Symmetrie. Dann können Sie etwas Ähnliches für den anderen tun, und Sie werden sehen, dass das PDF dasselbe ist.

P (- min (X, Y) \leq a) = P (min (X, Y) \geq - a)

$P(-\min(X,Y)\le a) = P(\min(X,Y)\ge -a)$

= P (X \geq - a, Y \geq - a) = P (X \geq - a) P (Y \geq - a) = P (X \leq a) P (Y \leq a)

$= P(X \ge -a, Y \ge -a) = P(X \ge -a)P(Y \ge -a) = P(X \le a) P(Y \le a)$

— Taylor

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Hier sind die Integralberechnungen in MAPLE:

$EA^2 =$

2*int(z^2*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

das entspricht 1.

$EA =$

2*int(z*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

das entspricht . $1/\sqrt{\pi}$

Daher ist Var (A) = 0,68169 ... was mit meiner Simulation übereinstimmt. $1-1/\pi =$

Natürlich ist Var (B) identisch.

— Mark L. Stone
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Betrachten Sie den Standardnormalfall (da die Verallgemeinerung trivial ist). Sei . $Z = \max(X,Y)$

$F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leq z) = P(X\leq z,Y\leq z) = \Phi(z)^2$

daher erhält man durch Differenzierung. $f_Z(z)$

Beachten Sie hinsichtlich der Erwartung Folgendes:

$\frac{d}{dx} \phi(x)\Phi(x) = -x\phi(x)\Phi(x) + \phi(x)^2$

Beachten Sie ferner, dass für einige Konstanten und geschrieben werden kann . Von dort sollten Sie das zeigen können $\phi(x)^2$ $a\phi(bx)$ $a$ $b$

$\int x\phi(x)\Phi(x)\,dx={\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(x\sqrt{2})-\phi(x)\Phi(x)+C$
(wenn nicht, zeige es durch Differenzierung ...)

Und wenn Sie Ableitungen von , sollten Sie in der Lage sein, frühere Ergebnisse zu verwenden, um zu . $x\phi(x)\Phi(x)$ $E(Z^2)$

.... Oder verwenden Sie einfach die Tabelle der bestimmten Integrale hier: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions#Definite_integrals

Ich denke, mit ein wenig Manipulation können Sie die Erwartungen und Abweichungen von dort aus erfüllen.

— Glen_b -State Monica
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