Nullsummeneigenschaft der Differenz zwischen den Daten und dem Mittelwert

8

Ich bin neu in statistischen Studien und auf dieser Website und bin in meinem Buch auf die "Nullsummen-Eigenschaft" bezüglich des Mittelwerts gestoßen. Es scheint einfach zu sein, aber ich kann den Begriff immer noch nicht verstehen. Die einzige Information, die es mit der Formel gibt, ist

Die Summe der Differenz zwischen jedem Wert einer Variablen , notiert , und dem Mittelwert von , notiert als , ist gleich Null. $Y$ $Y_i$ $Y$ $\bar Y$

Könnte jemand das Konzept besser erklären?

mean

— MK Qn
quelle

8

Sie haben bereits formellere Antworten erhalten. Diese Antwort sollte Ihnen eine "Intuition" hinter der Mathematik geben.

Das arithmetische Mittel reagiert empfindlich auf Ihre Daten (einschließlich Ausreißer) . Stellen Sie sich einen Hebel vor , wie den unten abgebildeten. Ihre Daten sind die orangefarbenen Kugeln, die auf einem Balken liegen (stellen Sie sich vor, es handelt sich um eine x-Achse einer Art Diagramm, und Ihre Daten sind Werte, die an verschiedenen Positionen darüber verstreut sind). Damit sich die Stange in horizontaler Position befindet, muss das Scharnier so platziert werden, dass die Kugeln ausgeglichen werden. Aus der Elementarphysik (oder einfach nur Spielplatzerfahrungen aus Ihrer Kindheit) können Sie sich daran erinnern, dass die Platzierung der Bälle eine Rolle spielt, wie stark sie den Hebel beeinflussen. Die "äußeren" Bälle, wie wir sie in der Statistik nennen, haben einen viel größeren Einfluss als die Bälle, die um das "Zentrum" herum überladen sind. Mittelwert ist der Wert, der das Scharnier genau in die Position bringt, die den Hebel ausbalanciert.

Wir können also sagen, dass der Mittelwert in der Mitte zwischen den Werten liegt. Das Zentrum wird als Abstand (dh Unterschiede) zwischen den Punkten und dem Mittelwert definiert. Da es sich in der Mitte befindet, würden wir erwarten, dass die Abstände ausgeglichen sind, dh sich gegenseitig auf Null setzen. Die Summe der Abstände muss also Null sein und der Mittelwert hat diese Eigenschaft (und nur den Mittelwert).

Überprüfen Sie auch das zugehörige arithmetische Mittel. Warum funktioniert es? Thread auf math.stackexchange.com.

— Tim
quelle

1

Dies gilt für den einfachen Vanille-Mittelwertschätzer, nicht für den Populationsmittelwert (im Grenzwert) oder für komplexere Mittelwertschätzer. Tatsächlich ergeben die meisten Schrumpfungsschätzer im Vergleich zum Vanille-Schätzer einen niedrigeren Mittelwert (in absoluten Zahlen), weshalb dieses Niveau nicht wirklich ausgeglichen ist.

— Cagdas Ozgenc

3

@CagdasOzgenc Ich erkläre ausdrücklich, dass dies für das arithmetische Mittel gilt.

— Tim

1

Es ist keine Kritik. Zusätzliche Bemerkungen. Die anderen Antworten waren nicht umfassend genug, um sie zu kommentieren.

— Cagdas Ozgenc

6

lassen seine Beobachtungswerte aus einer Variablen und läßt bezeichnet das arithmetische Mittel der Beobachtungen. Die Nullsummeneigenschaft kann mathematisch wie geschrieben werden: Beweis: Nach Definition von wir und daher: Interpretation: Beachten Sie, dass $y_1,y_2, \dots, y_n$ $n$ $Y$ $\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

0 = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) .

$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$

\bar{y}

$\overline{y}$

n \bar{y} = n \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

$n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$

\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} - n \bar{y} = n \bar{y} - n \bar{y} = 0.

$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$ ist im Wesentlichen der "Abstand" zwischen der Beobachtung und dem arithmetischen Mittelwert wobei die Information, ob die Beobachtung kleiner oder größer als das arithmetische Mittel ist, noch durch das Vorzeichen von erhalten bleibt ( Natürlich müsste der Abstand selbst nicht sein und wäre ).

y_{i}

$y_i$

\bar{y}

$\overline{y}$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$

| y_{i} - \bar{y} |

$|y_i-\overline{y}|$

Die Nullsummeneigenschaft kann dann so interpretiert werden, dass das arithmetische Mittel die Zahl so dass Beobachtungswerte von die kleiner als und die Werte von die größer als im Gleichgewicht halten, dh sie summieren sich zu Null. $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$

Tatsächlich ist aus dem Beweis leicht ersichtlich, dass dies die einzige Zahl ist, für die diese Eigenschaft gilt.

Sie können diese Eigenschaft natürlich verwenden, um zu überprüfen, ob die Berechnungen des Mittelwerts korrekt waren.

— BloXX
quelle

4

Verba docent exempla trahunt.

Seneka

Nehmen Sie drei Zahlen: 1, 2 und 3.

Mittelwert ist 2

Unterschiede zwischen Werten und einem Mittelwert sind:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

Die Summe dieser Unterschiede ist

-1 + 0 + 1 = 0

Die Nullsummeneigenschaft besagt, dass unabhängig davon, mit welchen Zahlen Sie beginnen, ein Ergebnis (Summe der Unterschiede zwischen ihnen und ihrem Mittelwert) 0 wäre

— Łukasz Deryło
quelle

3

Hier ist ein einfacher praktischer kleiner allgemeiner Beweis für das Ergebnis $\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

Nehmen wir die Folge von Zahlen: Wir erkennen an, dass der Mittelwert dieser Zahlenmenge mit werden kann Zur LHS der ursprünglichen Anweisung wir dies wie folgt vollständig : Dies kann in den folgenden Schritten auf 0 vereinfacht werden:

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}

$x_1,x_2,x_3,...,x_n$

\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}

$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$

\sum (x_{i} - \bar{x})

$\sum (x_i - \overline{x})$

\sum (x_{i} - \bar{x}) = (x_{1} - \frac{\sum x_{i}}{n}) + (x_{2} - \frac{\sum x_{i}}{n}) + (x_{3} - \frac{\sum x_{i}}{n}) + . . . + (x_{n} - \frac{\sum x_{i}}{n})

$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$

x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n} - (\frac{n \sum x_{i}}{n})

$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$

\sum x_{i} - \sum x_{i}

$\sum x_i-\sum x_i$

= 0

$=0$

— Chris Wilson
quelle