Wie werden erwartete Werte zusammengesetzter Ereignisse berechnet?

Ein hilfreicher Hinweis wäre willkommen, da ich anscheinend nicht herausfinden kann, wie der erwartete Wert berechnet werden soll

Ein Los enthält 17 Artikel, von denen jeder von zwei Qualitätssicherungsingenieuren überprüft werden muss. Jeder Ingenieur wählt zufällig und unabhängig 4 Elemente aus dem Los aus. Bestimmen Sie die erwartete Anzahl der ausgewählten Elemente:

ein. beide Ingenieure b. weder Ingenieur c. genau ein Ingenieur.

Dies ist eine Übung zur Verwendung von Indikatorvariablen. Ein Indikator hat den Wert um anzuzeigen, dass eine Bedingung erfüllt ist, und ansonsten den Wert . Scheinbar schwierige Probleme in Bezug auf Wahrscheinlichkeit und Erwartung können einfache Lösungen haben, die Indikatoren und die Linearität der Erwartung ausnutzen - selbst wenn die beteiligten Zufallsvariablen nicht unabhängig sind. Für diejenigen, die mit diesen Ideen noch nicht vertraut sind, werden im Folgenden alle Details angegeben.$1$$0$

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Nennen Sie die Ingenieure "X" und "Y". Auswahl von Modell X mittels Indikatorvariablen , wobei$17$$X_i,\ i=1,2,\ldots,17$

$$\left\{\matrix{X_i=1 & \text{ when X selects i}\\X_i=0 & \text{ otherwise.}}\right.$$

Definieren Sie auf ähnliche Weise die Indikatorvariablen für die Auswahl von Y.$Y_i$

Wir können die Bedingungen im Problem algebraisch ausdrücken:

• Der Indikator, dass von beiden ausgewählt wird, ist .$i$$X_iY_i$
• Der Indikator, dass von keinem ausgewählt wird, ist .$i$$(1-X_i)(1-Y_i)$
• Der Indikator, dass nur von X ausgewählt wird, ist .$i$$X_i(1-Y_i)$
• Der Indikator, dass nur von Y ausgewählt wird, ist .$i$$(1-X_i)Y_i$

Die von ausgewählte Gesamtzahl ist$X$

$$4 = X_1 + X_2 + \cdots + X_{17} = \sum_{i=1}^{17}X_i.$$

Offensichtlich sind alle Variablen identisch verteilt. Sei ihre gemeinsame Erwartung. weil$34$$\mu$

$$4 = E[4] = E\left[\sum_{i=1}^{17}X_i\right] = \sum_{i=1}^{17}E[X_i] = \sum_{i=1}^{17}\mu = 17\mu,$$

wir schließen daraus

$$\mu = \frac{4}{17}.$$

Obwohl die Variablen nicht unabhängig sind, wird angenommen , dass die unabhängig von den .$X_i$$Y_i$

ein. Erwartete Anzahl der von beiden ausgewählten Elemente

Die Gesamtzahl der von beiden ausgewählten Elemente ist die Summe der . Somit ist die erwartete Anzahl$X_iY_i$

$$E\left[\sum_{i=1}^{17} X_iY_i\right] = \sum_{i=1}^{17} E\left[X_iY_i\right] = \sum_{i=1}^{17} E\left[X_i\right]E\left[Y_i\right] = \sum_{i=1}^{17} \frac{4}{17}\frac{4}{17} = \frac{4^2}{17}.$$

Die Unabhängigkeit von und wurde benötigt, um jedes als Produkt von und .$X_i$$Y_i$$E[X_iY_i]$$E[X_i]$$E[Y_i]$

b. Erwartete Anzahl von Elementen, die von keinem ausgewählt wurden

Die Gesamtzahl der von keinem ausgewählten Elemente ist die Summe der . Da alle unabhängig von allen , gilt genau die gleiche Methode wie in (a); Die einzige Änderung besteht darin, dass durch . Der Wert muss$(1-X_i)(1-Y_i)$$1-X_i$$1-Y_i$$4/17$$E[1-X_i]=E[1-Y_i]=13/17$

$$E\left[\sum_{i=1}^{17} (1-X_i)(1-Y_i)\right] =\frac{13^2}{17}.$$

c. Erwartete Anzahl von Elementen, die von genau einem ausgewählt wurden

Dies kann , wie in (a) gelöst werden oder (b), mit als die Wahrscheinlichkeit von nur von X ausgewählt ist und als die Chance, nur von Y ausgewählt zu werden. Die Antwort ist die Summe dieser (disjunkten) Ereignisse, gleich .$4/17\times 13/17 = 52/17$$13/17\times 4/17=52/17$$104/17$

Eine Verknüpfung (oder Überprüfung der Arbeit) ist zu beachten , dass jedes Element in genau eine der Kategorien fällt beide , weder oder genau ein , und daher ist die Antwort muss die Differenz zwischen dem Gesamt (sein ) und der Summe der Antworten zu (a) und (b):$17$

$$17 - \frac{4^2}{17} - \frac{13^2}{17} = \frac{104}{17}.$$

Überprüfung per Simulation

Lassen Sie uns 10.000 (sagen wir) Simulationen dieser Auswahl durchführen und die Ergebnisse verfolgen. Wir können (a) die durchschnittliche Anzahl von Elementen ausgeben, die von beiden ausgewählt wurden, (b) die durchschnittliche Anzahl von Elementen, die von keinem ausgewählt wurden, und (c) die durchschnittliche Anzahl von Elementen, die von genau einem ausgewählt wurden. Unter dieser Ausgabe drucken wir als Referenz die Antworten in (a), (b) und (c). Wir werden nicht versuchen, effizient zu sein: Ziel ist es, den Auswahlprozess wie beschrieben zu modellieren und die Ereignisse ohne arithmetische Tricks direkt hochzuzählen. Hier ist ein RCode, der dies auf ziemlich übersichtliche Weise tut, während er nur etwa eine Sekunde dauert:

n.sim <- 1e4 # Number of iterations
n <- 17      # Number of items
k <- 4       # Numbers chosen by each engineer

set.seed(17) # Creates reproducible output
sim <- replicate(n.sim, {
  x <- sample.int(n, k)                       # X chooses `k` items
  y <- sample.int(n, k)                       # Y chooses 'k' items
  x.and.y <- intersect(x,y)                   # Find those chosen by both
  not.x.and.not.y <- setdiff(1:n, union(x,y)) # ... .... chosen by neither
  x.only <- setdiff(x, y)                     # ... .... chosen only by x
  y.only <- setdiff(y, x)                     # ... .... chosen only by y
  c(Both=length(x.and.y),                     # Count those chosen by both
    Neither=length(not.x.and.not.y),          # Count those chosen by neither
    One=length(x.only) + length(y.only)       # Count those chosen by one
  )
})

signif(rbind(Simulation=rowMeans(sim),                   # Average the simulations
      Theory=c(k^2/n, (n-k)^2/n, n-(k^2+(n-k)^2)/n)), 4) # Give theoretical values

Die beiden Ausgabezeilen - Durchschnitt über viele simulierte Versuche und die zuvor gegebenen theoretischen Antworten - sind nahe genug, um die Richtigkeit der Antworten zu unterstützen:

             Both Neither   One
Simulation 0.9315   9.932 6.137
Theory     0.9412   9.941 6.118